p Um matemático da RUDN University provou que não há soluções para as desigualdades diferenciais funcionais associadas às equações do tipo Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), equações diferenciais parciais estocásticas não lineares que surgem ao descrever o crescimento da superfície. As condições obtidas para a ausência de soluções auxiliarão nos estudos de crescimento de polímeros, a teoria das redes neurais, e reações químicas. O artigo foi publicado em Variáveis ​​Complexas e Equações Elípticas . p A principal dificuldade com as equações diferenciais parciais não lineares é que muitas delas não são resolvidas exatamente. Para fins práticos, tais equações são resolvidas numericamente, e as questões da existência e singularidade de suas soluções tornam-se problemas pelos quais os cientistas vêm lutando há décadas, e às vezes séculos. Um desses problemas - existência e suavidade de Navier-Stokes - foi incluído na famosa lista de problemas do Prêmio Millennium:O Clay Mathematical Institute nos EUA oferece um prêmio de $ 1 milhão para resolver qualquer um desses problemas.

p Qualquer equação diferencial parcial é definida em uma determinada área, por exemplo., em um plano ou em uma esfera, ou no espaço. Usualmente, é possível encontrar uma solução para tais equações em uma pequena vizinhança de um ponto, ou seja, uma solução local. Mas pode não ficar claro se existe uma solução global para toda a área e como encontrá-la.

p Outro problema de equações diferenciais parciais não lineares é que suas soluções podem "explodir, " isso é, de repente, começam a tender para o infinito em intervalos de tempo finitos. Se isso acontecer, isso significa que não há solução geral. E vice versa, se uma solução geral não existe, significa que qualquer solução local encontrada também deve "explodir" em algum lugar. Portanto, é importante procurar condições nas quais não haja solução geral.

p Os matemáticos usam desigualdades diferenciais em suas tentativas de lidar com esse problema. A essência do método é que é possível obter desigualdades não estritas que serão "mais fortes" do que a equação original a partir da equação diferencial parcial original. Então, se uma função não satisfaz essas desigualdades, definitivamente não é uma solução geral para a equação original.

p O matemático Andrei Muravnik do Instituto de Matemática da Universidade RUDN usou o método das desigualdades. Ele generalizou os teoremas existentes para o caso quase-linear que surge no estudo das equações do tipo KPZ. As condições obtidas não limitam apenas o conjunto de soluções possíveis para as equações do tipo KPZ, mas também são necessários para a resolução de problemas que surgem na prática. Em particular, esses resultados ajudam a resolver os problemas de crescimento de superfície ao modelar o comportamento de polímeros, e também pode ser usado na teoria das redes neurais.

p O método da desigualdade prevê teoricamente o comportamento descontínuo dos sistemas físicos descritos pelas equações do tipo KPZ. Isso permitirá tirar conclusões sobre as propriedades físicas desses sistemas. Também, este método pode ajudar com os problemas de extensibilidade de soluções locais. Esses métodos tornam-se necessários quando os métodos computacionais não são mais suficientes. Problemas semelhantes surgem na teoria dos fluxos de tráfego, reações químicas com difusão, bem como na modelagem de transições de fase.

p Nos últimos anos, a teoria de que não há soluções gerais para problemas não lineares foi desenvolvida mais adiante. Um artigo de Andrei Muravnik dá continuidade a essa tendência. As condições para a inexistência de soluções são interessantes não apenas do ponto de vista teórico, mas também porque ajudarão os cientistas a estudar uma infinidade de problemas aplicados. No futuro próximo, os resultados da matemática da RUDN University podem encontrar muitas aplicações em física matemática aplicada.