p Um matemático da Universidade RUDN propôs um novo esquema para resolver numericamente equações com potências fracionárias de operadores elípticos. O novo esquema funciona mais rápido do que os existentes, porque leva em consideração as propriedades das soluções para tais equações em pontos singulares. Os resultados podem ser úteis para calcular os processos de difusão - por exemplo, vazamento de fluido em um meio poroso, transferência de nutrientes através de uma parede celular, e quebras em materiais elásticos. O estudo foi publicado em Computadores e matemática com aplicativos . p A equação de difusão clássica é uma equação diferencial parcial. Ele descreve o processo de distribuição de uma substância em um determinado ambiente. A solução para a equação é uma função do tempo t e do ponto x, que mostra a concentração u (t, x) da substância no ponto x no tempo t. Se o meio for homogêneo, então a equação de difusão contém a primeira derivada em relação a t de u e a soma das segundas derivadas de u em relação às coordenadas. A soma é chamada de operador Laplace, e é usado em vários campos da matemática e da física, incluindo a teoria das funções complexas e a equação de Schrödinger.

p Matemático Petr Vabishchevich, funcionário do Centro Científico de Métodos Computacionais em Matemática Aplicada da RUDN University, e seu colega Raimondas Ciegis, Prof. de Matemática da Universidade Técnica de Vilnius Gediminas, Vilnius, Lituânia, considerada uma variante da equação de difusão fracionária na qual o operador de Laplace é levado a um grau fracionário. O grau é determinado pela fórmula, o que é conveniente do ponto de vista teórico, mas completamente inadequado para cálculos. Enquanto isso, cálculos práticos relacionados a soluções são uma tarefa importante para aplicações.

p Se resolver uma equação na forma geral é difícil, matemáticos usam métodos numéricos. Existem vários deles que são tradicionalmente usados ​​para a equação de difusão fracionada. Por exemplo, um deles assume que a solução se reduz às soluções sequenciais de vários sistemas chamados locais. Esses sistemas têm a propriedade de elipticidade, isso é, tais equações se assemelham a equações de difusão sem um grau fracionário. Esses sistemas são bem resolvidos numericamente. Contudo, quando a solução aproximada para o problema original como um todo precisa ser "montada" a partir das soluções obtidas, as peças nem sempre "se encaixam" bem - a solução obtida às vezes se aproxima da solução do problema original com precisão, e às vezes é muito diferente.

p Petr Vabishchevich e seu colega escolheram outro caminho, reduzindo a solução da equação de difusão fracionada para vários sistemas locais. Os sistemas resultantes não possuíam a propriedade de elipticidade e eram ainda piores, num sentido. Além disso, o sistema incluía funções com descontinuidades, o que geralmente significa baixa capacidade de resolução para problemas numéricos. Mas, neste caso particular, descobriu-se que a escolha correta do intervalo de tempo para o cálculo, junto com uma boa escolha do próprio sistema, permite obter uma solução numérica que se aproxima com bastante precisão da solução do problema original.

p Além disso, parece que o método proposto pelos matemáticos da Universidade RUDN geralmente funciona mais rápido do que seus equivalentes. Isso ocorre porque a transição para uma solução aproximada ocorre na última etapa do novo esquema. Em outros métodos, a aproximação ocorre em várias etapas, o que leva ao acúmulo de erros de cálculo. Isso não ocorre com o novo método.

p As equações de difusão fracionária descrevem a chamada difusão anômala, por exemplo., a distribuição de um líquido em um meio poroso com descontinuidades. Além disso, a difusão fracionada descreve a transferência de nutrientes dentro de uma célula e nos tecidos em geral. Essas equações em geral não são solucionáveis, Portanto, cientistas usam aproximações numéricas, isso é, soluções aproximadas. O novo método dos matemáticos da RUDN University permitirá realizar cálculos mais rapidamente em muitos casos.