Imagine um alto-falante colocado em uma sala com alguns microfones. Quando o alto-falante emite um impulso sonoro, os microfones recebem várias respostas atrasadas à medida que o som reverbera em cada parede da sala. Esses ecos de primeira ordem - ouvidos depois que os impulsos sonoros ricochetearam apenas uma vez em uma parede - depois voltam de cada parede para criar ecos de segunda ordem e assim por diante.

Em um jornal publicado na próxima semana no SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry , Mireille Boutin e Gregor Kemper tentam reconstruir a forma de uma sala usando ecos de primeira ordem recebidos por quatro microfones ligados a um drone. Os microfones são alinhados em uma configuração rígida e não ficam em um plano comum. Colocar microfones em um drone - ao invés de independentemente em toda a sala - revela novas áreas de aplicação.

"Os microfones ouvem um curto impulso sonoro refletindo em superfícies planas finitas - ou nas paredes, '' Boutin, professor de matemática e engenharia elétrica e da computação na Purdue University, explica. "Quando um microfone ouve um som que bate na parede, a diferença de tempo entre a emissão e recepção do som é registrada. Essa diferença de tempo corresponde à distância percorrida pelo som durante esse tempo. "

O atraso de cada eco de primeira ordem fornece aos autores um conjunto de distâncias de cada microfone para espelhar imagens da fonte refletida em cada parede. Identificar a parede correspondente da qual cada eco se origina é impossível; um microfone pode nem mesmo receber um eco de uma determinada parede com base em sua configuração e geometria da sala.

Os autores usam uma técnica de modelagem conhecida para se concentrar em ecos de primeira ordem. Este método interpreta o som rebatido como vindo de uma fonte virtual atrás da parede em vez da fonte, permitindo assim que um ponto de origem virtual represente cada parede.

"As diferenças de tempo entre a emissão e recepção fornecem a distância entre o microfone e o ponto de fonte virtual, "Diz Boutin." Se soubermos a distância de um desses pontos de fonte virtual a cada um dos quatro microfones, podemos recuperar as coordenadas da fonte virtual e, posteriormente, reconstruir quatro pontos na parede - e, portanto, o plano que contém a parede. "

Contudo, os microfones não podem determinar a distância que corresponde a cada ponto de fonte virtual, ou seja, cada parede. Em resposta, Boutin e seus colegas desenvolveram um método para rotular as distâncias que se correlacionam com cada parede, um processo que eles chamam de "classificação por eco".

A técnica de classificação por eco usa um polinômio como teste de triagem e descobre se as quatro distâncias estão no conjunto zero de um determinado polinômio em quatro variáveis. Um valor diferente de zero revela que as distâncias não podem saltar da mesma parede. Alternativamente, se o polinômio é igual a zero, as distâncias podem vir da mesma parede.

Este estudo demonstra que reconstruir uma sala a partir de ecos de primeira ordem adquiridos por quatro microfones é um problema teórico bem colocado em condições genéricas. "Este é um primeiro passo para resolver o problema do mundo real correspondente, "Boutin observa." Se o problema não foi bem colocado, então, uma solução prática exigiria mais informações. Mas como sabemos que é bem colocado, podemos passar para a próxima etapa:encontrar uma maneira de reconstruir a sala quando as medições de eco são ruidosas. "

Esta tarefa não é simples. Certos posicionamentos de drones dão origem a problemas que não são bem apresentados, sugerindo que a versão barulhenta do problema será suscetível a mau condicionamento. Mais trabalho é necessário para resolver adequadamente o problema de reconstruir uma sala a partir dos ecos.

Embora a estrutura matemática simplesmente exija uma configuração rígida de microfones não coplanares, a pesquisa tem uma gama de outras aplicações potenciais. "Esses microfones podem ser colocados dentro de uma sala ou em qualquer veículo, como um carro, um veículo subaquático, ou o capacete de uma pessoa, "Gregor Kemper, professor do Departamento de Matemática da Technische Universität München, explica. O artigo de jornal dos autores apresenta exemplos com papelaria, fontes de som internas, bem como fontes colocadas em veículos que podem ser girados e transladados devido ao movimento; essas últimas fontes apresentam situações significativamente mais complicadas.

"Um carro em movimento é diferente de um drone ou de um veículo subaquático de uma forma interessante, "Kemper acrescenta." Suas posições têm apenas três graus de liberdade - eixos x, eixos y, e orientação - enquanto um drone tem seis graus de liberdade. Nosso trabalho indica que esses seis graus de liberdade são suficientes para quase sempre detectar as paredes, mas isso não significa necessariamente que três graus também serão suficientes. O caso de um carro ou de qualquer veículo de superfície é objeto de pesquisa contínua do nosso grupo. "

Alcançar economia computacional para tais problemas é uma meta importante para Boutin e Kemper. Seu método requer um sistema de álgebra computacional para realizar cálculos simbólicos, que pode se tornar mais complexo computacionalmente para outras variações do problema, limitando assim sua expansão a problemas semelhantes. "Seria desejável encontrar uma técnica menos dispendiosa em termos computacionais para provar os mesmos resultados, especialmente se este método acabou por ser aplicável a outros casos, "Kemper diz." Nossa estrutura matemática é adequada para veículos baseados em superfície, mas os cálculos reais necessários para a prova apresentam desafios. Esperamos que outras equipes explorem esse problema. "