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A trigonometria pode parecer abstrata, mas o círculo unitário transforma esses mistérios em geometria concreta. Ao colocar um círculo de raio1 na origem de um sistema de coordenadas, cada valor trigonométrico torna-se simplesmente a coordenada x ou y de um ponto.

TL;DR

O círculo unitário tem raio 1. Os ângulos são medidos a partir do ponto (1,0) no eixo x positivo e aumentam no sentido anti-horário. Para qualquer ânguloθ:

• sinθ =coordenada y do ponto no círculo
• cosθ =coordenada x do ponto no círculo
• tanθ =y/x

O que é o círculo unitário?

Um círculo unitário é simplesmente um círculo cujo raio é exatamente uma unidade. Essa unidade pode ser metros, pés, polegadas – qualquer medida; a chave é que o raio é 1. Por causa disso, a circunferência e a área do círculo tornam-se múltiplos simples de π, e muitas fórmulas trigonométricas são reduzidas a números puros.

Coloque o círculo de forma que seu centro coincida com a origem de um plano cartesiano. O círculo intercepta o eixo x positivo em (1,0). Por convenção, começamos a medir ângulos a partir desse ponto e movemo-nos no sentido anti-horário. Assim, o ponto (1,0) corresponde a 0°, (0,1) a 90°, (‑1,0) a 180° e (0,‑1) a 270° (ou –90°).

As definições de sen e cos com o círculo unitário

Nos cursos elementares, sin, cos e tan são introduzidos através de triângulos retângulos:

\(\sin\theta =\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}\)
\(\cos\theta =\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}\)
\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

No círculo unitário a hipotenusa é sempre 1, então as equações são simplificadas para:

\(\sin\theta =\text{oposto}\)
\(\cos\theta =\text{adjacente}\)

Se desenharmos um raio que forma um ângulo θ com o eixo x positivo, o lado “oposto” é a coordenada y e o lado “adjacente” é a coordenada x do ponto onde o raio encontra o círculo. Consequentemente, sinθ é a coordenada y e cosθ é a coordenada x. Isso explica por que sin0°=0 e cos0°=1, ou sin90°=1 e cos90°=0.

Os ângulos negativos são tratados naturalmente:uma rotação no sentido horário a partir do ponto inicial compartilha a mesma coordenada x que o ângulo positivo correspondente, mas inverte o sinal da coordenada y. Portanto:

\(\cos(-\teta) =\cos\teta\)
\(\sin(-\theta) =-\sin\theta\)

A definição de tan com o círculo unitário

Usando as definições circulares de sen e cos, tan simplifica para a razão entre a coordenada y e a coordenada x:

\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{y}{x}\)

Esta forma deixa claro porque tan é indefinido em 90° (ou 270°), onde x=0, porque a divisão por zero é impossível.

Gráfico de funções trigonométricas

Quando você visualiza o círculo unitário, a coordenada x varia suavemente de 1 até –1 à medida que você se move de 0° a 180°, depois volta para 1 em 360°. A função seno segue o mesmo padrão, mas atinge primeiro seu pico de 1 em 90°. Portanto, sen e cos estão 90° fora de fase. A tangente, sendo a razão y/x, tem assíntotas verticais onde x=0, produzindo o padrão de repetição familiar com pontos indefinidos em múltiplos ímpares de 90°.