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Quando você precisa de um vetor perpendicular a um determinado vetor, as técnicas de produto escalar e produto vetorial fornecem métodos claros e confiáveis. Um produto escalar zero sinaliza ortogonalidade, enquanto o produto vetorial de dois vetores não paralelos produz um vetor que é perpendicular a ambos.

Duas Dimensões – Produto Interno

Etapa 1

Suponha um vetor desconhecido V =(v₁ , v₂ ). Este vetor será perpendicular ao vetor conhecido U =(você₁ , você₂ ).

Etapa 2

Calcule o produto escalar:V · Você =você₁ v₁ + você₂ v₂ . Por exemplo, se U =(–3, 10), então V · Você =–3v₁ + 10v₂ .

Etapa 3

Defina o produto escalar como zero e resolva para um componente:–3v₁ + 10v₂ =0 ⇒ v₂ =(3/10)v₁ .

Etapa 4

Selecione qualquer valor para v₁; por exemplo, seja v₁ =1.

Etapa 5

Calcular v₂ =0,3. Assim V =(1, 0,3) é perpendicular a U =(–3, 10). Escolhendo v₁ =–1 dá V ′ =(–1, –0,3), a direção oposta. Qualquer múltiplo escalar de qualquer um dos vetores permanece perpendicular e a normalização para comprimento unitário resulta em W =V / √(1² + 0,3²) =(1/√10, 0,3/√10).

Três dimensões — Produto escalar

Etapa 1

Defina um vetor desconhecido V =(v₁ , v₂ , v₃ ).

Etapa 2

Calcule o produto escalar com um vetor conhecido U =(10, 4, –1):V · Você =10v₁ + 4v₂ –v₃ .

Etapa 3

Defina o produto escalar como zero, produzindo a equação do plano 10v₁ + 4v₂ –v₃ =0. Qualquer vetor que satisfaça esta relação é perpendicular a U .

Etapa 4

Escolha valores convenientes, por exemplo, v₁ =1 e v₂ =1, então resolva para v₃ =10 + 4 =14. Isso dá V =(1, 1, 14).

Etapa 5

Verifique a ortogonalidade:V · Você =10(1) + 4(1) – 14 =0. Assim V é de fato perpendicular a U .

Três Dimensões — Produto Cruzado

Etapa 1

Selecione qualquer vetor não paralelo a U . Uma escolha conveniente é um vetor de base, como X =(1, 0, 0).

Etapa 2

Calcule o produto vetorial:W =X × U =(0, 1, 4) quando U =(10, 4, –1).

Etapa 3

Confirme a perpendicularidade:W · Você =0·10 + 1·4 + 4·(–1) =0. Usar diferentes vetores não paralelos como (0, 1, 0) ou (0, 0, 1) produzirá outros vetores perpendiculares, todos situados no plano definido por 10v₁ + 4v₂ –v₃ =0.