Por Lee Johnson Atualizado em 30 de agosto de 2022

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Em matemática, o conceito de coprimalidade – também chamado de relativamente ou mutuamente primo – ajuda-nos a compreender como os números interagem com base nos seus factores primos. Um par de inteiros é coprimo quando o único divisor comum que eles compartilham é 1. Essa propriedade está subjacente a muitas áreas da teoria dos números, criptografia e design de algoritmos.

O que é um Coprime?

Dois números são coprimos se, após decompor cada um em seus fatores primos, nenhum primo aparecer em ambas as fatorações. Por exemplo, 21 =3 × 7 e 22 =2 × 11; o único divisor compartilhado é 1, então 21 e 22 são coprimos. Os números primos são automaticamente coprimos com qualquer número que não contenha esse primo em sua fatoração.

Fatoração Primária:A Chave para a Identificação Coprime

A determinação do status coprime começa com a fatoração primária. Tome 35 como exemplo:

• 35 ÷ 5 =7 (ambos primos) → 35 =5 × 7.

A seguir, fator 60:

• 60 ÷ 2 =30 → 30 ÷ 2 =15 → 15 ÷ 3 =5 → 5 é primo, então 60 =2² × 3 × 5.

Ao listar os fatores primos, podemos ver quais primos estão ausentes e, portanto, adequados para a construção de coprimos.

Encontrando coprimos:etapas práticas

Uma vez conhecidos os fatores primos de um número, qualquer número inteiro construído exclusivamente a partir de números primos não presentes nessa fatoração será primo dele. Para 35 (primos 5 e 7), números como 2, 3, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, etc., e seus produtos - 6 (2 × 3), 9 (3²), 22 (2 × 11), 33 (3 × 11), 26 (2 × 13) - são todos primos de 35.

Da mesma forma, para 60 (primos 2, 3, 5), qualquer número inteiro que evite esses primos é coprimo. Os exemplos incluem 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 e seus produtos:77 (7×11), 91 (7×13), 119 (7×17), 143 (11×13), etc.

Atalhos úteis:

• Qualquer primo que não divida o número original é automaticamente coprimo.
• Dois números inteiros consecutivos são sempre primos.
• O máximo divisor comum (MDC) pode ser calculado rapidamente usando o algoritmo euclidiano.

Verificando se dois números são coprimos

A verificação mais simples é fatorar ambos os números e procurar primos compartilhados. Alternativamente, calcule o GCD; se for igual a 1, os números são coprimos. Essa abordagem é mais rápida para números inteiros grandes e é a base para muitos protocolos criptográficos.

Ferramentas e recursos

A fatoração primária online e as calculadoras GCD podem automatizar essas etapas. Recursos confiáveis ​​incluem WolframAlpha, Number Theory Toolbox e outras plataformas matemáticas respeitáveis.