Linhas equiangulares são linhas no espaço que passam por um único ponto, e cujos ângulos de pares são todos iguais. Imagine em 2D as três diagonais de um hexágono regular, e em 3D, as seis linhas conectando vértices opostos de um icosaedro regular. Os matemáticos não se limitam a três dimensões, Contudo.

“Em grandes dimensões, as coisas ficam realmente interessantes, e as possibilidades podem parecer ilimitadas, "diz Yufei Zhao, professor assistente de matemática.

Mas eles não são ilimitados, de acordo com Zhao e sua equipe de matemáticos do MIT, que procurou resolver este problema na geometria das linhas no espaço de alta dimensão. É um problema que os pesquisadores vêm intrigando há pelo menos 70 anos.

Seu avanço determina o número máximo possível de linhas que podem ser colocadas de forma que as linhas sejam separadas por pares pelo mesmo ângulo dado. Zhao escreveu o artigo com um grupo de pesquisadores do MIT composto pelos alunos de graduação Yuan Yao e Shengtong Zhang, Ph.D. estudante Jonathan Tidor, e pós-doutorado Zilin Jiang. (Yao começou recentemente como um aluno de Ph.D. em matemática do MIT, e Jiang agora é membro do corpo docente da Arizona State University). Seu artigo será publicado na edição de janeiro de 2022 da Annals of Mathematics .

A matemática das linhas equiangulares pode ser codificada usando a teoria dos grafos. O artigo fornece novos insights sobre uma área da matemática conhecida como teoria dos grafos espectrais, que fornece ferramentas matemáticas para estudar redes. A teoria dos grafos espectrais gerou algoritmos importantes na ciência da computação, como o algoritmo PageRank do Google para seu mecanismo de busca.

Essa nova compreensão das linhas equiangulares tem implicações potenciais para a codificação e as comunicações. As linhas equiangulares são exemplos de "códigos esféricos, "que são ferramentas importantes na teoria da informação, permitindo que diferentes partes enviem mensagens entre si através de um canal de comunicação ruidoso, como aqueles enviados entre a NASA e seus rovers de Marte.

O problema de estudar o número máximo de retas equiangulares com um determinado ângulo foi introduzido em um artigo de 1973 de P.W.H. Lemmens e J.J. Seidel.

"Este é um lindo resultado que fornece uma resposta surpreendentemente precisa para um problema bem estudado em geometria extrema que recebeu uma quantidade considerável de atenção já nos anos 60, "diz o professor de matemática da Princeton Universiry, Noga Alon.

O novo trabalho da equipe do MIT fornece o que Zhao chama de "uma solução satisfatória para esse problema".

"Havia algumas boas ideias na época, mas as pessoas ficaram presas por quase três décadas, "Zhao diz. Houve algum progresso importante feito há alguns anos por uma equipe de pesquisadores, incluindo Benny Sudakov, professor de matemática do Instituto Federal Suíço de Tecnologia (ETH) de Zurique. Zhao hospedou a visita de Sudakov ao MIT em fevereiro de 2018, quando Sudakov falou no seminário de pesquisa combinatória sobre seu trabalho em linhas equiangulares.

Jiang foi inspirado a trabalhar no problema das linhas equiangulares com base no trabalho de seu ex-doutorado. conselheiro Bukh Boris na Carnegie Mellon University. Jiang e Zhao se uniram no verão de 2019, e foram acompanhados por Tidor, Yao, e Zhang. "Eu queria encontrar um bom projeto de pesquisa de verão, e eu pensei que esse era um grande problema para trabalhar, "Zhao explica." Achei que poderíamos fazer um bom progresso, mas estava definitivamente além das minhas expectativas resolver completamente todo o problema. "

A pesquisa foi parcialmente financiada pela Alfred P. Sloan Foundation e pela National Science Foundation. Yao e Zhang participaram da pesquisa por meio do Programa de Verão para Pesquisa de Graduação do Departamento de Matemática (SPUR), e Tidor era o mentor do aluno de pós-graduação. Seus resultados lhes renderam o Prêmio Hartley Rogers Jr. do departamento de matemática para o melhor artigo do SPUR.

“É um dos resultados de maior sucesso do programa SPUR, "diz Zhao." Não é todo dia que um antigo problema aberto é resolvido. "

Uma das principais ferramentas matemáticas usadas na solução é conhecida como teoria dos grafos espectrais. A teoria dos grafos espectrais nos diz como usar ferramentas da álgebra linear para entender gráficos e redes. O "espectro" de um gráfico é obtido transformando um gráfico em uma matriz e observando seus autovalores.

"É como se você brilhasse um feixe de luz intenso em um gráfico e, em seguida, examinasse o espectro de cores que aparecem, "Zhao explica." Descobrimos que o espectro emitido nunca pode ser fortemente concentrado próximo ao topo. Acontece que esse fato fundamental sobre os espectros dos gráficos nunca foi observado. "

O trabalho apresenta um novo teorema na teoria dos grafos espectrais - que um grafo de grau limitado deve ter multiplicidade sublinear de segundo autovalor. A prova requer insights inteligentes relacionando o espectro de um gráfico com o espectro de pequenas partes do gráfico.

"A prova funcionou de forma limpa e bonita, "Zhao diz." Nós nos divertimos muito trabalhando juntos neste problema. "