Por Chris Deziel, atualizado em 30 de agosto de 2022
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Os logaritmos podem transformar um problema algébrico simples em um problema complicado. Eles são frequentemente vistos como tediosos, difíceis de manipular e um tanto misteriosos. A boa notícia é que removê-los de uma equação é simples, uma vez que você lembra que um logaritmo é simplesmente o inverso de um expoente.
Embora a base de um logaritmo possa ser qualquer número positivo, as bases mais comuns na ciência são 10 e o número de Euler
e . Em matemática, “log” denota um logaritmo de base 10 e “ln” denota um logaritmo natural com base
e .
TL;DR
Para eliminar logaritmos, eleve ambos os lados da equação à mesma potência da base do logaritmo. Se a equação contiver vários logaritmos, mova todos eles para um lado e simplifique primeiro.
O que é um logaritmo?
Um logaritmo responde à pergunta “a que potência a base deve ser elevada para produzir um determinado número?” Em outras palavras, o logaritmo de um número é o expoente necessário para obter esse número da base. Por exemplo,
\(\log_8 2 =6\) significa que
8
2
=64 . In the common notation
\(\log x =100\) , entende-se que a base é 10, então a questão passa a ser “10 elevado a que potência é igual a 100?” A resposta é 2, porque
10
2
=100 .
Como um logaritmo é a operação inversa da exponenciação, as equações que contêm logaritmos podem muitas vezes ser “desembaraçadas” aplicando-se o expoente apropriado a ambos os lados. Isso funciona desde que todos os logaritmos envolvidos compartilhem a mesma base.
Exemplos
Logaritmo simples \(\log x =y\) Eleve ambos os lados à potência de 10:
\(10^{\log x} =10^y\) . Desde
10^{\log x} =x , obtemos
\(x =10^y\) .
Todos os termos são logaritmos \(\log (x^2 - 1) =\log (x + 1)\) Exponenciar ambos os lados com base 10:
\(x^2 - 1 =x + 1\) . Simplifique para obter
\(x^2 - x - 2 =0\) , cujas soluções são
\(x =-2\) ou
\(x =1\) .
Logaritmos mistos e termos algébricos Siga estas etapas:
1. Comece com a equação, por exemplo:
\(\log x =\log (x - 2) + 3\) .
2. Mova todos os logaritmos para um lado:
\(\log x - \log (x - 2) =3\) .
3. Aplique as leis do logaritmo:
\(\log \left(\frac{x}{x-2}\right) =3\) .
4. Exponenciar ambos os lados com base 10:
\(\frac{x}{x-2} =10^3\) .
5. Resolva para
x :
\(x =1000x - 2000 \Rightarrow -999x =-2000 \Rightarrow x =\frac{2000}{999} \aprox 2.002\) .
Ao aplicar sistematicamente essas regras, você pode eliminar logaritmos de quase todas as equações algébricas.
