Por Lisa Maloney
12 de março de 2023 1h49 EST

Igor Kutyaev/iStock/GettyImages

O crescimento exponencial aparece frequentemente na linguagem quotidiana, mas os seus fundamentos matemáticos são precisos e essenciais para muitos cenários do mundo real. Esteja você monitorando a proliferação bacteriana, avaliando o interesse composto ou modelando a dinâmica populacional, a mesma fórmula básica se aplica. Para resolver o crescimento exponencial, você precisará do valor inicial, da taxa de crescimento ou decaimento e do tempo decorrido.

A fórmula do crescimento exponencial

A representação mais comum é:

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onde um é o valor inicial, k é a constante de crescimento contínuo (ou decaimento), t é o tempo e f(t) é o valor no momento t . Número de Euler (e ≈ 2,71828) é a base dos logaritmos naturais e a base da mudança exponencial contínua.

Alternativamente, a forma de juros compostos é frequentemente usada:

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Aqui, r representa uma taxa de crescimento discreta (por exemplo, juros anuais) e o expoente ainda acompanha os períodos decorridos.

Deduzindo a taxa de crescimento a partir de dados observados

Considere um microbiologista medindo uma nova espécie bacteriana. Ele começa com 50 células e, cinco horas depois, registra 550 células.

Conectando esses números ao modelo contínuo:

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Divida ambos os lados por 50 para isolar o termo exponencial:

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Pegue o logaritmo natural de cada lado:

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Finalmente, resolva para k :

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Essa taxa informa a rapidez com que a população se expande. Para projetar o tamanho após 10 horas, basta inserir t =10 na fórmula usando o k derivado valor.

Quando a taxa é menor que um

Uma taxa k abaixo de zero indica decadência exponencial – cada período produz menos indivíduos. Nas finanças, este cenário representa frequentemente um crescimento negativo ou acumulação de dívida. As mesmas equações se aplicam; o sinal de k determina se a tendência é de crescimento ou decadência.

Aplicações do crescimento exponencial no mundo real

• Juros compostos: Contas de poupança, hipotecas e retornos de investimentos aumentam exponencialmente ao longo do tempo.
• Decaimento Radioativo: Os cálculos de meia-vida baseiam-se no decaimento exponencial para prever quando metade de uma amostra será transformada.
• Tempo de duplicação: Tanto na biologia quanto nas finanças, o tempo de duplicação indica quanto tempo leva para uma quantidade dobrar, dada uma taxa de crescimento constante.

Para calcular a meia-vida ou o tempo de duplicação, defina o resultado da fórmula para metade ou o dobro do valor inicial e resolva o tempo.