O que é a sequência de Fibonacci?

Olhe para um girassol e você notará um padrão espiral nas sementes - seu total equivale para uma sequência de Fibonacci. Estúdio África/Shutterstock

Existe uma equação mágica para o universo? Provavelmente não, mas existem alguns bastante comuns que encontramos repetidamente no mundo natural. Tomemos, por exemplo, a sequência de Fibonacci . É uma série de números crescentes em que cada número (o número de Fibonacci) é a soma dos dois números anteriores. (Mais sobre a equação matemática em um minuto.)

A sequência de Fibonacci também funciona na natureza como uma proporção correspondente que reflete vários padrões da natureza – pense na espiral quase perfeita de uma concha de um náutilo e no redemoinho intimidante de um furacão.

Os humanos provavelmente conhecem a sequência de Fibonacci há milênios – ideias matemáticas em torno desse padrão interessante datam de antigos textos sânscritos entre 600 e 800 a.C. Mas nos tempos modernos temos associado isso a tudo, desde a obsessão de um homem medieval por coelhos até a ciência da computação e sementes de girassol.
Conteúdo

Números de Fibonacci e como os coelhos se reproduzem
Como funciona a sequência de Fibonacci na natureza
Equívocos sobre a Proporção Áurea

Números de Fibonacci e como os coelhos se reproduzem

A sequência de Fibonacci continua infinitamente e é composta de números crescentes constantemente começando com 0, seguido por 1, onde cada número subsequente é a soma dos dois números anteriores. Shaunl/Getty Images

Em 1202, o matemático italiano Leonardo Pisano (também conhecido como Leonardo Fibonacci, que significa “filho de Bonacci”) se perguntou quantos coelhos um único casal de pais poderia produzir. Mais especificamente, Fibonacci colocou a questão:Quantos pares de coelhos um único par de coelhos pode produzir num ano? Este experimento mental determina que as coelhas sempre dão à luz pares, e cada par consiste em um macho e uma fêmea [fonte:Ghose].

Pense nisso:dois coelhos recém-nascidos são colocados em uma área fechada onde os coelhos começam a se reproduzir como coelhos. Os coelhos não podem gerar filhotes até terem pelo menos 1 mês de idade, portanto, no primeiro mês, resta apenas um par. No final do segundo mês, a fêmea dá à luz um novo par, restando dois pares no total.

Quando chega o terceiro mês, o par original de coelhos produz outro par de recém-nascidos, enquanto seus primeiros filhotes crescem até a idade adulta. Isso deixa três pares de coelhos, dois dos quais darão à luz mais dois pares no mês seguinte, totalizando cinco pares de coelhos.

Então, depois de um ano, quantos coelhos haveria? É aí que entra a equação matemática. É bem simples, apesar de parecer complexa.

Os primeiros números de Fibonacci são os seguintes:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 e até o infinito.

A equação matemática que o descreve é assim:
Xn+2 =Xn+1 + Xn
Basicamente, cada número inteiro é a soma dos dois números anteriores. (Você pode aplicar o conceito a números inteiros negativos, mas cobriremos apenas os números inteiros positivos aqui.)

Para encontrar 2, adicione os dois números anteriores (1+1)
Para obter 3, adicione os dois números anteriores (1+2)

Este conjunto de somas infinitas é conhecido como série de Fibonacci ou sequência de Fibonacci. A proporção entre os números na sequência de Fibonacci (1,6180339887498948482...) é frequentemente chamada de proporção áurea ou número áureo. As proporções de números sucessivos de Fibonacci aproximam-se da proporção áurea à medida que os números se aproximam do infinito.

Quer ver como esses números fascinantes são expressos na natureza? Não há necessidade de visitar a loja de animais local; tudo que você precisa fazer é olhar ao seu redor.

Como funciona a sequência de Fibonacci na natureza

Dê uma boa olhada nesta couve-flor romana. Sua espiral segue a série de Fibonacci. Tuomas A. Lehtinen/Getty Images

Embora algumas sementes, pétalas e ramos de plantas, etc., sigam a sequência de Fibonacci, ela certamente não reflete como todas as coisas crescem no mundo natural. E só porque uma série de números pode ser aplicada a uma variedade surpreendente de objetos isso não implica necessariamente que haja qualquer correlação entre os números e a realidade.

Tal como acontece com as superstições numerológicas, como pessoas famosas morrendo em grupos de três, às vezes uma coincidência é apenas uma coincidência.

Mas embora alguns argumentem que a prevalência de números sucessivos de Fibonacci na natureza é exagerada, eles aparecem com frequência suficiente para provar que reflectem alguns padrões que ocorrem naturalmente. Geralmente, você pode identificá-los estudando a maneira como as várias plantas crescem. Aqui estão alguns exemplos:

Sementes, pinhas, frutas e vegetais

Observe o conjunto de sementes no centro de um girassol e você notará que elas se parecem com um padrão espiral dourado. Surpreendentemente, se você contar essas espirais, o total será um número de Fibonacci. Divida as espirais naquelas apontadas para a esquerda e para a direita e você obterá dois números de Fibonacci consecutivos.

Você pode decifrar padrões espirais em pinhas, abacaxis e couve-flor que também refletem a sequência de Fibonacci dessa maneira [fonte:Knott].

Flores e galhos

Algumas plantas expressam a sequência de Fibonacci em seus pontos de crescimento, os locais onde os galhos das árvores se formam ou se dividem. Um tronco cresce até produzir um galho, resultando em dois pontos de crescimento. O tronco principal produz então outro ramo, resultando em três pontos de crescimento. Então o tronco e o primeiro galho produzem mais dois pontos de crescimento, totalizando cinco. Este padrão continua, seguindo os números de Fibonacci.

Além disso, se você contar o número de pétalas de uma flor, muitas vezes descobrirá que o total é um dos números da sequência de Fibonacci. Por exemplo, os lírios e as íris têm três pétalas, os botões de ouro e as rosas silvestres têm cinco, os delfínios têm oito pétalas e assim por diante.

Abelhas

Uma colônia de abelhas consiste em uma rainha, alguns zangões e muitas operárias. As abelhas fêmeas (rainhas e operárias) têm dois pais:um zangão e uma rainha. Os drones, por outro lado, eclodem de ovos não fertilizados. Isso significa que eles têm apenas um dos pais. Portanto, os números de Fibonacci expressam a árvore genealógica de um drone, pois ele tem um dos pais, dois avós, três bisavós e assim por diante [fonte:Knott].

Tempestades

Sistemas de tempestades como furacões e tornados geralmente seguem a sequência de Fibonacci. Da próxima vez que você vir um furacão em espiral no radar meteorológico, observe a inconfundível espiral de Fibonacci nas nuvens na tela.

O Corpo Humano

Dê uma boa olhada em si mesmo no espelho. Você notará que a maioria das partes do seu corpo segue os números um, dois, três e cinco. Você tem um nariz, dois olhos, três segmentos em cada membro e cinco dedos em cada mão. As proporções e medidas do corpo humano também podem ser divididas em termos da proporção áurea. As moléculas de DNA seguem esta sequência, medindo 34 angstroms de comprimento e 21 angstroms de largura para cada ciclo completo da dupla hélice.

Por que tantos padrões naturais refletem a sequência de Fibonacci?

Os cientistas ponderaram a questão durante séculos. Em alguns casos, a correlação pode ser apenas coincidência. Noutras situações, o rácio existe porque esse padrão de crescimento específico evoluiu como o mais eficaz. Nas plantas, isso pode significar exposição máxima para folhas famintas de luz ou arranjo maximizado de sementes.

Equívocos sobre a Proporção Áurea

A proporção áurea é expressa em conchas em espiral. Na ilustração acima, as áreas de crescimento da casca são mapeadas em quadrados. Se os dois quadrados menores têm largura e altura 1, então a caixa à esquerda deles mede 2. As outras caixas medem 3, 5, 8 e 13. José Miguel Hernández/Getty Images

Embora os especialistas concordem que a sequência de Fibonacci é comum na natureza, há menos acordo sobre se a sequência de Fibonacci é expressa em certos casos de arte e arquitetura. Embora alguns livros digam que a Grande Pirâmide e o Partenon (assim como algumas pinturas de Leonardo da Vinci) foram projetados usando a proporção áurea, quando isso é testado, descobre-se que é falso [fonte:Markowsky].

O matemático George Markowsky apontou que tanto o Partenon quanto a Grande Pirâmide têm partes que não estão em conformidade com a proporção áurea, algo deixado de lado por pessoas determinadas a provar que os números de Fibonacci existem em tudo. O termo "meio-termo" era usado nos tempos antigos para denotar algo que evitava o acesso em qualquer direção, e algumas pessoas confundiram o meio-termo com a proporção áurea, que é um termo mais recente que surgiu no século XIX.

Agora isso é interessante
Comemoramos o Dia de Fibonacci, 23 de novembro, não apenas para homenagear o esquecido gênio matemático Leonardo Fibonacci, mas também porque quando a data é escrita como 23/11, os quatro números formam uma sequência de Fibonacci. Leonardo Fibonacci também é comumente creditado por contribuir para a mudança dos algarismos romanos para os algarismos arábicos que usamos hoje.

Perguntas Frequentes

O que a sequência de Fibonacci explica?

A sequência de Fibonacci é uma série de números em que cada número é a soma dos dois números anteriores. A sequência de Fibonacci mais simples começa com 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e assim por diante.

Muito mais informações

Fontes

Anderson, Matt e outros. "A Série Fibonacci." 1999. (14 de junho de 2008) http://library.thinkquest.org/27890/main
"Números de Fibonacci." Enciclopédia Online da Britannica. 2008. (14 de junho de 2008) http://www.britannica.com/eb/article-9034168/Fibonacci-numbers
"Números de Fibonacci na Natureza." Mistérios Mundiais. (14 de junho de 2008) http://www.world-mysteries.com/sci_17.htm
Caldwell, Chris. "Números de Fibonacci." Os vinte melhores. (14 de junho de 2008) http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=39
Ghose, Tia. "O que é a sequência de Fibonacci?" 24 de outubro de 2018 (31 de agosto de 2021) https://www.livescience.com/37470-fibonacci-sequence.html
Grist, Stan. "A Estrutura Oculta e a Matemática de Fibonacci." StanGrist. com. 2001. (14 de junho de 2008) http://www.stangrist.com/fibonacci.htm
Knott, Ron. "Números de Fibonacci na Natureza." Páginas da Web de Ron Knott sobre matemática. 28 de março de 2008. (14 de junho de 2008) http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
Markowsky, George. "Equívocos sobre a Proporção Áurea." O Jornal de Matemática da Faculdade, Vol. 23, nº 1. janeiro de 1992. (31 de agosto de 2021) https://www.goldennumber.net/wp-content/uploads/George-Markowsky-Golden-Ratio-Misconceptions-MAA.pdf