Todos os estudantes de matemática e muitos estudantes de ciências encontram polinômios em algum momento dos estudos, mas, felizmente, eles são fáceis de lidar quando você aprende o básico. As principais operações que você precisará fazer com expressões polinomiais são adicionar, subtrair, multiplicar e dividir e, embora a divisão possa ser complexa, na maioria das vezes você será capaz de lidar com o básico com facilidade.
Polinômios: Definição e exemplos

Polinômio descreve uma expressão algébrica com um ou mais termos envolvendo uma variável (ou mais de um), com expoentes e possivelmente constantes. Eles não podem incluir divisão por uma variável, não podem ter expoentes negativos ou fracionários e devem ter um número finito de termos.

Este exemplo mostra um polinômio:

x

<sup>3 + 2 x
2 - 9 x
- 4</sup>

E isso mostra outro:

xy

<sup>2 - 3 x
+ y</sup>

Há muitas maneiras de classificar polinômios, incluindo por grau (a soma dos expoentes no termo de maior potência, por exemplo, 3 no primeiro exemplo) e pelo número de termos que eles contêm, como monômios (um termo), binômios (dois termos) e trinômios (três
Adicionando e subtraindo polinômios

A adição e subtração de polinômios depende da combinação de termos "semelhantes". Um termo semelhante é aquele com as mesmas variáveis e expoentes que outro, mas o número pelo qual eles são multiplicados (o coeficiente) pode ser diferente. Por exemplo, x
^{2 e 4 x
2 são termos semelhantes porque têm a mesma variável e expoente, e 2 xy
4 e 6 xy
4 também são termos semelhantes. No entanto, x
2, x
3, x
2 e
2 e < em> y
2 não são termos semelhantes, porque cada um contém combinações diferentes de variáveis e expoentes.}

Adicione polinômios combinando termos semelhantes da mesma maneira que faria com outros termos algébricos. Por exemplo, observe o problema:

( x
<sup>3 + 3 x
) + (9 x
3 + 2 x
+ y
)</sup>

Colete os termos semelhantes a obter:

( x
<sup>3 + 9 x
3) + (3 x
+ 2 x
) + y</sup>

E avalie simplesmente adicionando os coeficientes e combinando em um único termo:

10 x
<sup>3 + 5 x
+ y</sup>

Observe que você não pode fazer nada com y
porque não possui um termo semelhante.

Subtração funciona da mesma maneira:

(4 x
^{4 + 3 y
2 + 6 y
) - (2 x
4 + 2 y
2 + y
)}

Primeiro, observe que todos os termos no suporte à direita são subtraídos dos que estão no suporte à esquerda, então escreva-os como :

4 x
<sup>4 + 3 y
2 + 6 y
- 2 x
4 - 2 y
2− y</sup>

Combine termos semelhantes e avalie para obter:

(4 x
4-2 x
<sup>4) + (3 y
2 - 2 y
2) + (6 y
- y
)</sup>

\u003d 2 x
^{4 + y
2 + 5 y}

Para um problema como o seguinte:

(4 xy
+ x
<sup>2) - (6 xy
- 3 x
2)</sup>

Observe que o sinal de menos é aplicado a toda a expressão no colchete direito, portanto, os dois sinais negativos antes de 3_x_ ^{2 se tornam um sinal de adição:}

(4 xy
+ x
<sup>2) - (6 xy
- 3 x
2) \u003d 4 xy
+ x
2 - 6 xy
+ 3 x
2</sup>

Em seguida, calcule como antes.
Multiplicando expressões polinomiais

Multiplique expressões polinomiais usando a propriedade distributiva da multiplicação. Em resumo, multiplique cada termo no primeiro polinômio por cada termo no segundo. Veja este exemplo simples:

4 x
× (2 x
^{2 + y
)}

Você resolva isso usando a propriedade distributiva, portanto:

4 x
× (2 x
^{2 + y
) \u003d (4 < em> x
× 2 x
2) + (4 x
× y
)}

\u003d 8 x
^{3 + 4 xy}

Resolva problemas mais complicados da mesma maneira:

(2 y
^{3 + 3 x
) × (5 x
2 + 2 x
)}

\u003d (2 y
^{3 × (5 x
2 + 2 x
)) + (3 x
× (5 x
2 + 2 x
))}

\u003d (2 y
^{3 × 5 x
2) + (2 y
3 × 2 x
) + (3 x
× 5 x
2) + (3 x
× 2 x
)}

\u003d 10 y
<sup>3 x
2 + 4 < em> y
3 x
+ 15 x
3 + 6 x
2</sup>

Estes problemas podem se complicar para grupos maiores, mas o processo básico ainda é o mesmo.
Dividindo o polinômio E xpressions

A divisão de expressões polinomiais leva mais tempo, mas você pode resolvê-las em etapas. Veja a expressão:

( x
<sup>2 - 3 x
- 10) /( x
+ 2)</sup>

Primeiro, escreva a expressão como uma divisão longa, com o divisor à esquerda e o dividendo à direita:

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

Divida o primeiro termo no dividendo pelo primeiro termo no divisor e coloque o resultado na linha acima do divisão. Nesse caso, x
^{2 ÷ x
\u003d x
, portanto:}

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

Multiplique esse resultado pelo divisor inteiro, portanto, neste caso, ( x
+ 2) × x
\u003d x
^{2 + 2 < em> x
. Coloque este resultado abaixo da divisão:}

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

Subtraia o resultado da nova linha dos termos diretamente acima (observe que tecnicamente você altera o sinal; portanto, se tiver um resultado negativo, adicione-o) e coloque-o em uma linha abaixo. Mova o termo final do dividendo original para baixo também.

x

x


+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

Agora repita o processo com o divisor e o novo polinômio na linha inferior. Portanto, divida o primeiro termo do divisor ( x
) pelo primeiro termo do dividendo (−5 x
) e coloque-o acima:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

Multiplique este resultado (−5 x
÷ x
\u003d −5) pelo divisor original (então (< em> x
+ 2) × −5 \u003d −5 x
−10) e coloque o resultado em uma nova linha inferior:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

−5 x
- 10

Em seguida, subtraia a linha inferior da seguinte (então, neste caso, altere o sinal e adicione) e coloque o resultado em uma nova linha inferior:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

−5 x
- 10

0 0

Como agora há uma linha de zeros na parte inferior, o processo está concluído. Se houvesse termos diferentes de zero, você repetiria o processo novamente. O resultado está na linha superior, portanto:

( x
<sup>2 - 3 x
- 10) /( x
+ 2) \u003d x
- 5</sup>

Esta divisão e algumas outras podem ser resolvidas de maneira mais simples se você puder fatorar o polinômio no dividendo.