Em matemática, uma função é um processo que você aplica a uma variável independente x para obter a variável dependente y. Se você pensa em "ir de" seu x para chegar ao seu y, uma função inversa segue o caminho oposto, do resultado ao valor original. De certo modo, uma função inversa é o oposto do original, “desfazendo” o processo.

TL; DR (muito tempo; não leu)

Um inverso de uma função matemática inverte os papéis de y e x na função original.
Funções e Inversas

Os matemáticos definem uma função como um processo ou regra que gera os pares ordenados de um conjunto. Você pode pensar no primeiro membro do par como o x da função e no segundo membro como o y. Em uma função verdadeira, o primeiro valor possui apenas um valor de solução que o acompanha. Portanto, cada valor x possui apenas um valor y correspondente. Portanto, a equação da linha horizontal, y \u003d 1 é uma função, mas a linha vertical x \u003d 1 não.
Desenhe um gráfico

O gráfico de uma função e seu inverso são reflexos de um outro, com uma linha representando y \u003d x atuando como o "espelho". Por exemplo, o gráfico da função natural do logaritmo, ln (x), começa no infinito negativo no eixo y e à direita de zero no eixo x. A partir daí, ele cruza o eixo x no ponto (1,0) e tem uma curva ligeiramente ascendente sobre o eixo x. Sua inversa, a função expoente natural exp (x), tem o eixo x como assíntota, começando no infinito negativo no eixo x, logo acima dele. Atravessa o eixo y em (0,1) e curva-se fortemente para cima. Desenhe as duas funções em um gráfico, depois desenhe a linha y \u003d x, e você verá que exp (x) e ln (x) se espelham.
Seno e Cosseno

Embora o seno e as funções cosseno estão relacionadas, uma não é a inversa da outra. As funções seno e cosseno produzem resultados gráficos semelhantes, embora o cosseno "conduz" o seno em 90 graus. Além disso, o cosseno é o derivado do seno. No entanto, a inversa da função seno é o arco-seno, e a inversa do cosseno é a arccosina.
Encontrando uma Função Inversa

É relativamente fácil encontrar o inverso de muitas funções: Troque o " y ”e“ x ”na equação e depois resolva para y. Por exemplo, considere a equação y \u003d 2x + 4. Trocar y por x resulta em x \u003d 2y + 4. Subtraia 4 de ambos os lados para obter x - 4 \u003d 2y e depois divida os dois lados por 2 para obter (x ÷ 2) - 2 \u003d y, a função inversa.
Não-funções inversas

Nem todos os inversos de funções também são funções. Lembre-se de que a definição de funções diz que todo x tem apenas um valor y. Embora o arco-seno seja o inverso da função seno, o arco-seno não é tecnicamente uma função, pois os valores x têm infinitamente muitos valores y correspondentes. Também é verdade com y \u003d x ^{2 e y \u003d √x: a primeira é uma função e a segunda é sua inversa, mas a raiz quadrada fornece dois valores de y correspondentes, positivos e negativos, tornando-a não uma função verdadeira .}