Assim como na álgebra, quando você começa a aprender trigonometria, acumula conjuntos de fórmulas úteis para a solução de problemas. Um desses conjuntos são as identidades de meio ângulo, que você pode usar para dois propósitos. Uma é converter funções trigonométricas de (θ /2) em funções em termos do mais familiar (e mais facilmente manipulado) θ. A outra é encontrar o valor real das funções trigonométricas de θ, quando θ pode ser expresso como metade de um ângulo mais familiar.
Revisando as identidades de meio ângulo
Muitos livros de matemática listam quatro partes principais identidades de ângulos. Mas, aplicando uma mistura de álgebra e trigonometria, essas equações podem ser massageadas em várias formas úteis. Você não precisa necessariamente memorizar tudo isso (a menos que seu professor insista), mas pelo menos deve entender como usá-los:
Identidade de meio ângulo para o seno
< li> sin (θ /2) \u003d ± √ [(1 - cosθ) /2]
Identidade de meio ângulo para o cosseno
Identidades de meio ângulo para tangente
Identidades de meio ângulo para cotangentes
Então, como você usa identidades de meio ângulo? O primeiro passo é reconhecer que você está lidando com um ângulo que é metade de um ângulo mais familiar.
imagine que você é solicitado a encontrar o seno do ângulo 15 graus. Este não é um dos ângulos para os quais os alunos memorizam os valores das funções trigonométricas. Mas se você deixar 15 graus igual a θ /2 e depois resolver para θ, verá que:
θ /2 \u003d 15
θ \u003d 30
Como o θ resultante, 30 graus, é um ângulo mais familiar, será útil usar a fórmula de meio ângulo aqui.
Porque você foi solicitado a encontrar o seno, na verdade, existe apenas uma fórmula de meio ângulo para escolher:
sin (θ /2) \u003d ± √ [(1 - cosθ) /2]
Substituindo em θ /2 \u003d 15 graus e θ \u003d 30 graus fornece:
sin (15) \u003d ± √ [(1 - cos (30)) /2]
Se você se lhe pedissem para encontrar a tangente ou cotangente, ambas multiplicando pela metade a maneira de expressar sua identidade em meio ângulo, você simplesmente escolheria a versão que parecia mais fácil de trabalhar.
O sinal ± no início de algumas identidades de meio ângulo significa que a raiz em questão pode ser positiva ou negativa. Você pode resolver essa ambiguidade usando seu conhecimento de funções trigonométricas em quadrantes. Aqui está uma rápida recapitulação de quais funções trigonométricas retornam valores positivos Porque, neste caso, seu ângulo θ representa 30 graus, que cai no quadrante I, você sabe que o valor senoidal retornado será positivo. Então você pode soltar o sinal ± e simplesmente avaliar: sin (15) \u003d √ [(1 - cos (30)) /2] Substitua o valor conhecido e conhecido de cos (30). Nesse caso, use os valores exatos (em oposição às aproximações decimais de um gráfico): sin (15) \u003d √ [(1 - √3 /2) /2] Em seguida, simplifique o lado direito da sua equação para encontrar um valor para o pecado (15). Comece multiplicando a expressão sob o radical por 2/2, o que lhe dará: sin (15) \u003d √ [2 (1 - √3 /2) /4] Isso simplifica para: sin (15) \u003d √ [(2 - √3) /4] Você pode fatorar a raiz quadrada de 4: sin (15 ) \u003d (1/2) √ (2 - √3) Na maioria dos casos, isso é o máximo que você simplifica. Embora o resultado possa não ser muito bonito, você traduziu o seno de um ângulo desconhecido em uma quantidade exata.
em que quadrantes:
