Aprender a lidar com expoentes é parte integrante de qualquer ensino de matemática, mas, felizmente, as regras para multiplicá-los e dividi-los correspondem às regras para expoentes não fracionários. O primeiro passo para entender como lidar com expoentes fracionários é obter um resumo do que exatamente eles são e, em seguida, você pode ver como você pode combinar expoentes quando eles são multiplicados ou divididos e têm a mesma base. Em resumo, você adiciona os expoentes ao multiplicar e subtrai um ao outro ao dividir, desde que tenham a mesma base.

TL; DR (Muito longo; Não leu)

Multiplique termos com expoentes usando a regra geral:

x <sup>a

+ x b
\u003d x
( a
+ b
)</sup>

E divida os termos com expoentes usando a regra:

x <sup>a

÷ x b
\u003d x
( a
- b
)</sup>

Essas regras funcionam com qualquer expressão no lugar de a
e b, até frações.
O que são expoentes fracionários?

Os expoentes fracionários fornecem uma maneira compacta e útil de expressar raízes quadradas, cubas e superiores. O denominador no expoente informa qual raiz do número "base" o termo representa. Em um termo como x ^{a
, você chama x
a base e a
o expoente. Portanto, um expoente fracionário diz a você:}

x

^{1/2 \u003d √ x}

O denominador de dois no expoente informa que você está usando a raiz quadrada de x
nesta expressão. A mesma regra básica se aplica às raízes mais altas:

x

^{1/3 \u003d ∛ x}

E

x

^{1/4 \u003d 4√x}

Esse padrão continua. Para um exemplo concreto:

9 ^{1/2 \u003d √9 \u003d 3}

E

8 ^{1/3 \u003d ∛8 \u003d 2
Regras de expoentes de frações: multiplicando expoentes fracionários com a mesma base}

Multiplique termos com expoentes fracionários (desde que tenham a mesma base) adicionando os expoentes. Por exemplo:

x

^{1/3 × x
1/3 × x
1/3 \u003d x
(1/3 + 1/3 + 1/3)}

\u003d x
^{1 \u003d < em> x}

Como x
^{1/3 significa "a raiz do cubo de x
", faz todo o sentido que isso se multiplique por si duas vezes fornece o resultado x
. Você também pode encontrar exemplos como x
1/3 × x
1/3, mas lida com eles exatamente da mesma maneira:}

x

^{1/3 × x
1/3 \u003d x
(1/3 + 1/3)}

\u003d x
^2/3

O fato de a expressão no final ainda ser um expoente fracionário não faz diferença para o processo. Isso pode ser simplificado se você observar que x
<sup>2/3 \u003d ( x
1/3) 2 \u003d ∛ x

2. Com uma expressão como essa, não importa se você cria a raiz ou o poder primeiro. Este exemplo ilustra como calcular:</sup>

8 ^{1/3 + 8 1/3 \u003d 8 2/3}

\u003d ∛8 ²

Como a raiz do cubo 8 é fácil de resolver, faça o seguinte:

∛8 ^{2 \u003d 2 2 \u003d 4}

Então isso significa:

8 ^{1/3 + 8 1/3 \u003d 4}

Você também pode encontrar produtos de expoentes fracionários com números diferentes nos denominadores das frações, e você pode adicionar esses expoentes da mesma maneira que adicionaria outras frações. Por exemplo:

x

^{1/4 × x
1/2 \u003d x
(1/4 + 1/2)}

\u003d x
^{(1/4 + 2/4)}

\u003d x
^3/4

Essas são expressões específicas da regra geral para multiplicar duas expressões com expoentes:

x <sup>a

+ x b
\u003d x
( a
+ b
)
Regras do expoente de frações: Dividindo expoentes fracionários com a mesma base</sup>

Resolva divisões de dois números com expoentes fracionários subtraindo o expoente que você está dividindo (o divisor) pelo que está dividindo (o dividendo). Por exemplo:

x

^{1/2 ÷ x
1/2 \u003d x
(1/2 - 1/2)}

\u003d x
^{0 \u003d 1}

Isso faz sentido, porque qualquer número dividido por si é igual a um , e isso concorda com o resultado padrão de que qualquer número elevado a uma potência igual a 0 é igual a um. O próximo exemplo usa números como bases e diferentes expoentes:

16 ^{1/2 ÷ 16 1/4 \u003d 16 (1/2 - 1/4)}

\u003d 16 ^{(2/4 - 1/4)}

\u003d 16 ^1/4

\u003d 2

Qual você também pode ver se observe que 16 ^{1/2 \u003d 4 e 16 1/4 \u003d 2.}

Assim como na multiplicação, você também pode acabar com expoentes fracionários que possuem um número diferente de um no numerador, mas você lida com eles da mesma maneira.

Eles simplesmente expressam a regra geral para dividir expoentes:

x <sup>a

÷ x b
\u003d x
( a
- b
)
Multiplicando e dividindo Expoentes fracionários em bases diferentes</sup>

Se as bases nos termos forem diferentes, não há uma maneira fácil de multiplicar ou dividir expoentes. Nesses casos, basta calcular o valor dos termos individuais e, em seguida, executar a operação necessária. A única exceção é se o expoente for o mesmo; nesse caso, você pode multiplicá-lo ou dividi-lo da seguinte maneira:

x

^{4 × y
4 \u003d ( xy
) 4}

x

<sup>4 ÷ y
4 \u003d ( x

) 4</sup>