p Algumas pessoas gostam de fazer caminhadas aleatórias pela floresta, enquanto outros podem passear por sua própria vizinhança. No mundo da matemática, um passeio aleatório é, na verdade, mais aleatório do que isso; seria o equivalente a jogar uma moeda para decidir qual direção você tomaria em cada passo. p Recentemente, Omer Tamuz da Caltech, professor de economia e matemática, junto com dois de seus alunos de graduação, Joshua Frisch e Pooya Vahidi Ferdowsi, e seu colega Yair Hartman da Ben-Gurion University em Israel, resolveu um antigo problema de matemática relacionado a caminhadas aleatórias. A solução foi publicada no verão passado na revista Annals of Mathematics .

p "Lembro-me de conversar com os alunos sobre uma compreensão que tivemos em relação a este problema, e então na manhã seguinte eu descobri que eles tinham ficado acordados até tarde da noite e descobri isso, "diz Tamuz.

p "Tivemos muita sorte em que este projeto realmente nos deu a solução que queríamos. Isso é muito raro em um projeto de matemática, "diz Frisch." Algo como 90 por cento dos projetos em que você trabalha, você não vai conseguir resolver. Com cerca de 10 por cento, você começa a progredir e a trabalhar muito mais. E mesmo assim, você nem sempre resolve isso. Parte de ser um matemático é se acostumar com o fracasso. Às vezes, você trabalha em algo por meses e tem que desistir e seguir para o próximo projeto. "

p Os matemáticos imaginam passeios aleatórios em espaços com diferentes dimensões e geometrias. No novo estudo, a equipe Caltech imaginou passeios aleatórios em "grupos, "que são objetos que podem ter geometrias muito diversas. Para alguns grupos, as caminhadas aleatórias acabarão, depois de muito tempo decorrido, convergem para uma direção específica. Nesses casos, as caminhadas são consideradas dependentes do caminho, o que significa que algo que aconteceu no início afeta o resultado. Ou, em outras palavras, algo que acontece no início da caminhada influencia onde termina. Mas para outros grupos, a direção das caminhadas não converge, e sua história não afeta seu futuro.

p "Para um processo aleatório, é verdade que, a longo prazo, tudo se esvai e o que quer que aconteça vai acontecer independentemente do que aconteceu antes? Ou há uma memória do que aconteceu antes? "Pergunta Tamuz." Digamos que você tenha duas sociedades, e um deles faz algum avanço tecnológico enquanto o outro sofre um desastre natural. Essas diferenças vão persistir para sempre, ou irão eventualmente desaparecer e esqueceremos que uma vez houve uma vantagem? Em passeios aleatórios, há muito se sabe que existem grupos que possuem essas memórias, enquanto em outros grupos as memórias são apagadas. Mas não estava muito claro quais grupos têm essa propriedade e quais não, ou seja, o que faz um grupo ter memória? Isso é o que descobrimos. "

p A solução, diz Tamuz, tinha a ver com encontrar uma "maneira geométrica de descrever uma propriedade algébrica dos grupos". Para entender a essência disso, pense em um círculo. Você pode descrever o círculo geometricamente (como o conjunto de todos os pontos a uma determinada distância de um ponto), ou você pode descrevê-lo com uma equação algébrica. No caso do problema do passeio aleatório, os matemáticos encontraram uma nova maneira de pensar sobre as conexões entre as propriedades geométricas e algébricas dos grupos que estavam estudando.

p "Na verdade, ficamos chocados com a facilidade de resolver o problema, uma vez que descobrimos essa conexão, "diz Ferdowsi, que explica que, embora a solução "simplesmente fluísse, "a equipe enfrentou um atraso" considerável "enquanto ele estava em seu país natal, o Irã, e não conseguiu obter um visto para voltar ao Caltech." No final, Ficamos muito satisfeitos por ter resolvido um antigo problema em aberto em matemática. "

p Frisch diz que a grande percepção que eles tiveram para este problema matemático, na verdade, surgiu de um problema anterior que era muito mais difícil. "Eu estava batendo minha cabeça por alguns meses e não pude fazer nenhum progresso, " ele diz, "Mas então tivemos essa ideia eureka que se aplicava não apenas ao que estávamos trabalhando na época, mas também a este problema mais recente. É muito bom quando você percebe, "Oh meu Deus, isso vai realmente funcionar. '"

p o Annals of Mathematics estudo , intitulado, "Grupos Choquet-Deny e a propriedade de classe de conjugação infinita, "foi apoiado pela National Science Foundation e pela Simons Foundation.