Na matemática, nenhum pesquisador trabalha em verdadeiro isolamento. Mesmo aqueles que trabalham sozinhos usam os teoremas e métodos de seus colegas e predecessores para desenvolver novas ideias.

Mas quando uma técnica conhecida é muito difícil de usar na prática, os matemáticos podem negligenciar problemas importantes - e de outra forma solucionáveis.

Recentemente, Juntei-me a vários matemáticos em um projeto para tornar uma dessas técnicas mais fácil de usar. Produzimos um pacote de computador para resolver um problema chamado "equação da unidade S, "com a esperança de que os teóricos dos números de todos os tipos possam atacar mais facilmente uma ampla variedade de problemas não resolvidos em matemática.

Equações diofantinas

Em seu texto "Aritmética, "o matemático Diophantus olhou para equações algébricas cujas soluções devem ser números inteiros. esses problemas têm muito a ver com a teoria dos números e geometria, e os matemáticos têm estudado desde então.

Por que adicionar essa restrição de apenas soluções de números inteiros? As vezes, as razões são práticas; não faz sentido criar 13,7 ovelhas ou comprar -1,66 carros. Adicionalmente, matemáticos são atraídos por esses problemas, agora chamadas de equações diofantinas. O fascínio vem de sua dificuldade surpreendente, e sua capacidade de revelar verdades fundamentais sobre a natureza da matemática.

Na verdade, os matemáticos muitas vezes não estão interessados ​​nas soluções específicas para qualquer problema diofantino em particular. Mas quando os matemáticos desenvolvem novas técnicas, seu poder pode ser demonstrado resolvendo equações Diofantinas anteriormente não resolvidas.

A prova de Andrew Wiles do Último Teorema de Fermat é um exemplo famoso. Pierre de Fermat afirmou em 1637 - à margem de uma cópia da "Aritmética, "nem menos - ter resolvido a equação Diofantina xⁿ + yⁿ =zⁿ, mas não ofereceu nenhuma justificativa. Quando Wiles provou isso 300 anos depois, os matemáticos imediatamente perceberam. Se Wiles tivesse desenvolvido uma nova ideia que pudesse resolver Fermat, então o que mais essa ideia poderia fazer? Os teóricos dos números correram para entender os métodos de Wiles, generalizando-os e encontrando novas consequências.

Não existe um único método que possa resolver todas as equações diofantinas. Em vez de, matemáticos cultivam várias técnicas, cada um adequado para certos tipos de problemas diofantinos, mas não para outros. Então, os matemáticos classificam esses problemas por suas características ou complexidade, da mesma forma que os biólogos podem classificar as espécies por taxonomia.

Classificação mais fina

Esta classificação produz especialistas, como diferentes teóricos dos números se especializam nas técnicas relacionadas a diferentes famílias de problemas diofantinos, como curvas elípticas, formas binárias ou equações de Thue-Mahler.

Dentro de cada família, a classificação mais precisa é personalizada. Os matemáticos desenvolvem invariantes - certas combinações dos coeficientes que aparecem na equação - que distinguem diferentes equações na mesma família. É fácil calcular essas invariantes para uma equação específica. Contudo, as conexões mais profundas com outras áreas da matemática envolvem questões mais ambiciosas, tais como:"Existe alguma curva elíptica com invariante 13?" ou "Quantas formas binárias têm 27 invariantes?"

A equação da unidade S pode ser usada para resolver muitas dessas questões maiores. O S se refere a uma lista de primos, como {2, 3, 7}, relacionado à questão específica. Uma unidade S é uma fração cujo numerador e denominador são formados pela multiplicação apenas dos números da lista. Então, neste caso, 3/7 e 14/9 são unidades S, mas 6/5 não é.

A equação da unidade S é enganosamente simples de declarar:Encontre todos os pares de unidades S que somam 1. Encontrando algumas soluções, como (3/7, 4/7), pode ser feito com papel e caneta. Mas a palavra-chave é "todos, "e é isso que torna o problema difícil, tanto teoricamente quanto computacionalmente. Como você pode ter certeza de que todas as soluções foram encontradas?

Em princípio, os matemáticos sabem como resolver a equação da unidade S há vários anos. Contudo, o processo é tão complicado que ninguém poderia resolver a equação à mão, e poucos casos foram resolvidos. Isso é frustrante, porque muitos problemas interessantes já foram reduzidos a "apenas" resolver alguma equação S-unidade particular.

Como funciona o solucionador

As circunstâncias estão mudando, Contudo. Desde 2017, seis teóricos de números na América do Norte, eu incluído, estão construindo um solucionador de equações de unidades S para o software de matemática de código aberto SageMath. Em 3 de março, anunciamos a conclusão do projeto. Para ilustrar sua aplicação, usamos o software para resolver vários problemas abertos de Diofantino.

A principal dificuldade da equação da unidade S é que, embora existam apenas algumas soluções, existem infinitas unidades S que podem ser parte de uma solução. Ao combinar um célebre teorema de Alan Baker e uma delicada técnica algorítmica de Benne de Weger, o solucionador elimina a maioria das unidades S de consideração. Mesmo neste ponto, pode haver bilhões de unidades S - ou mais - para verificar; o programa agora tenta tornar a pesquisa final o mais eficiente possível.

Esta abordagem para a equação da unidade S é conhecida há mais de 20 anos, mas tem sido usado apenas com moderação, porque os cálculos envolvidos são complicados e demorados. Anteriormente, se um matemático encontrou uma equação da unidade S que ela queria resolver, não havia uma maneira automatizada de resolvê-lo. Ela teria que percorrer cuidadosamente o trabalho de Baker, de Weger e outros, em seguida, escreva seu próprio programa de computador para fazer os cálculos. Executar o programa pode levar horas, dias ou mesmo semanas para os cálculos serem concluídos.

Nossa esperança é que o software ajude os matemáticos a resolver problemas importantes na teoria dos números e aumentar sua compreensão da natureza, beleza e eficácia da matemática.

Este artigo foi republicado de The Conversation sob uma licença Creative Commons. Leia o artigo original.