Por Chirantan Basu | Atualizado em 30 de agosto de 2022

A equação de um plano no espaço tridimensional pode ser expressa como 08 , onde pelo menos uma das constantes 17 , 25 ou 39 é diferente de zero. Quando três pontos são conhecidos, o plano pode ser derivado usando produtos vetoriais, uma técnica geométrica confiável que garante uma solução exata.

Etapa 1 – Identifique os três pontos

Rotule os pontos A, B e C. Para ilustração, seja A = (3, 1, 1), B = (1, 4, 2) e C = (1, 3, 4).

Etapa 2 – Formar dois vetores no plano

Escolha quaisquer dois vetores que estejam no plano. Uma escolha conveniente é 47 e 55 :

• 68  = B – A = (1–3, 4–1, 2–1) = (–2, 3, 1)
• 70  = C – A = (1–3, 3–1, 4–1) = (–2, 2, 3)

Etapa 3 – Calcular o vetor normal por meio de produto cruzado

O produto vetorial de 86 e 96 produz um vetor normal ao plano:

104

Substituindo as coordenadas dá:

111

Assim, o vetor normal 126 é 131 .

Etapa 4 – Escreva a equação do plano

Usando o ponto C (ou qualquer ponto conhecido) e o vetor normal, a equação do plano é:

143

Expandir e simplificar produz o formulário padrão:

156

Etapa 5 – Verifique o resultado

Substitua cada um dos pontos originais na equação para confirmar que eles a satisfazem. Todos os três pontos satisfazem 162 , validando o cálculo.

TL;DR

Use produtos vetoriais para encontrar o vetor normal de um plano e, em seguida, insira qualquer ponto na forma de produto escalar para obter a equação do plano.