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Por que fatorar somas e diferenças de cubos?

Fatorando expressões como a ³+b ³ ou um ³−b ³ é mais do que um truque bacana; transforma um cálculo potencialmente complicado em um produto simples. Dominar essas identidades é essencial para álgebra, divisão polinomial e simplificação de expressões racionais.

Fatorando a Soma dos Cubos

Considere o binômio x³ + 27 . Reconheça que 27 é 3³ , para que possamos aplicar a identidade da soma dos cubos:

1. Expresse ambos os termos como cubos. x³ + 27 =x³ + 3³
2. Lembre-se da identidade. a³ + b³ =(a + b)(a² – ab + b²)
3. Substituto. Substituindo um com x e b com 3 dá:
   x³ + 3³ =(x + 3)(x² – 3x + 3²)
   

Assim x³ + 27 fatores ordenadamente em (x + 3)(x² – 3x + 9) .

Fatorando a diferença de cubos

Para a expressão y³ – 125 , observe que 125 é 5³ . Aplique a identidade da diferença de cubos:

1. Identifique os cubos. y³ – 125 =y³ – 5³
2. Use a identidade. a³ – b³ =(a – b)(a² + ab + b²)
3. Substituto. Substituindo um com y e b com 5 rendimentos:
   y³ – 5³ =(y – 5)(y² + 5y + 5²)
   

Então y³ – 125 fatores para (y – 5)(y² + 5y + 25) .

Aplicando as identidades

Essas fatorações simplificam as operações algébricas subsequentes, como a divisão por um binômio, a resolução de equações polinomiais ou a simplificação de expressões racionais. Ao reconhecer e aplicar consistentemente as identidades de soma e diferença de cubos, você economizará tempo e reduzirá erros em seus cálculos.