Por Sky Smith
Atualizado:27 de fevereiro de 2025, 19h24 EST
© Kamil Zajaczkowski/Shutterstock
A fatoração de polinômios cúbicos é uma ferramenta poderosa que revela os zeros de uma função, indicando onde o gráfico muda de direção e simplificando análises mais profundas. Embora a fatoração quadrática seja simples, as cúbicas geralmente exigem uma abordagem sistemática. Abaixo está um método comprovado e aprovado por especialistas para fatorar qualquer polinômio de grau 3 de forma eficiente.
Etapa 1 – Agrupamento
Identifique um padrão onde o polinômio pode ser dividido em dois grupos que compartilham um fator comum. Por exemplo, considere
F(x) = x³ – x² – 4x + 4 . Agrupe os termos:
x²(x – 1) – 4(x – 1)
Retire o fator binomial compartilhado
(x – 1) :
(x² – 4)(x – 1)
Aplique a regra da diferença de quadrados à quadrática restante:
(x – 2)(x + 2)(x – 1)
Todos os fatores agora são primos.
Etapa 2 – Soma ou diferença de cubos
Quando um polinômio consiste em dois termos, cada um deles um cubo perfeito, use as identidades padrão:
- Soma:(x³ + y³) = (x + y)(x² – xy + y²)
- Diferença:(x³ – y³) = (x – y)(x² + xy + y²)
Exemplo:
G(x) = 8x³ – 125 fatores como
(2x – 5)(4x² + 10x + 25)
A quadrática é irredutível sobre os inteiros, então a fatoração termina aqui.
Etapa 3 – Extrair o Máximo Fator Comum
Verifique se uma variável ou constante multiplica todos os termos. Para
H(x) = x³ – 4x , fatorar
x :
H(x) = x(x² – 4)
Em seguida, aplique o truque da diferença de quadrados:
H(x) = x(x – 2)(x + 2)
Etapa 4 – Use o Teorema do Fator
Quando o agrupamento, cubos e MDCs são insuficientes, encontre uma raiz racional usando o Teorema do Fator. Para
P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10 , teste candidatos inteiros ±1, ±2, ±5, ±10. Encontramos
P(5) = 0
Assim
(x – 5) é um fator. Dividir por este binômio resulta em
P(x) = (x – 5)(x² + x – 2)
Os fatores quadráticos ainda:
(x – 5)(x – 1)(x + 2)
Referências
- Universidade Lamar:fatoração de polinômios
