As funções matemáticas são ferramentas poderosas para os negócios, a engenharia e as ciências, porque podem atuar como modelos em miniatura dos fenômenos do mundo real. Para entender funções e relações, você precisa se aprofundar um pouco em conceitos como conjuntos, pares e relações ordenados. Uma função é um tipo especial de relação que possui apenas um valor y para um determinado valor x. Existem outros tipos de relações que se parecem com funções, mas não atendem à definição estrita de uma.

TL; DR (Muito longo; não leu)

Uma relação é um conjunto de "numbers organized into pairs.", 3, [[Uma função é um tipo especial de relação que possui apenas um valor y para um determinado valor x.
Conjuntos, pares ordenados e relações

Para descrever relações e funções, ajuda a discutir primeiro conjuntos e pares ordenados . Resumidamente, um conjunto de números é uma coleção deles, normalmente contidos em chaves, como {15,1, 2/3} ou {0, 0,22}. Normalmente, você define um conjunto com uma regra, como todos os números pares entre 2 e 10, inclusive: {2,4,6,8,10}.

Um conjunto pode ter qualquer número de elementos ou nenhum, ou seja, o conjunto nulo {}. Um par ordenado é um grupo de dois números entre parênteses, como (0,1) e (45, -2). Por conveniência, você pode chamar o primeiro valor em um par ordenado como valor x e o segundo como valor y. Uma relação organiza pares ordenados em um conjunto. Por exemplo, o conjunto {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} é uma relação. Você pode plotar os valores xey de uma relação em um gráfico usando os eixos xey.
Relações e funções

Uma função é uma relação na qual qualquer valor x dado tem apenas um valor y correspondente . Você pode pensar que, com pares ordenados, cada x tem apenas um valor y de qualquer maneira. No entanto, no exemplo de uma relação fornecida acima, observe que os valores x 1 e 2 têm dois valores y correspondentes, 0 e 5 e 10 e 15, respectivamente. Essa relação não é uma função. A regra fornece à relação de função uma definição que não existe de outra forma, em termos de valores x. Você pode perguntar, quando x é 1, qual é o valor de y? Para a relação acima, a pergunta não tem resposta definida; pode ser 0, 5 ou ambos.

Agora examine um exemplo de relação que é uma função verdadeira: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6 )}. Os valores x não são repetidos em nenhum lugar. Como outro exemplo, veja {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Alguns valores de y são repetidos, mas isso não viola a regra. Você ainda pode dizer que quando o valor de x é 0, y é definitivamente 5.
Funções de gráfico: teste de linha vertical

Você pode dizer se uma relação é uma função plotando os números em um gráfico e aplicando o teste de linha vertical. Se nenhuma linha vertical que passa pelo gráfico o interceptar em mais de um ponto, a relação é uma função.
Funções como equações

Escrever um conjunto de pares ordenados como uma função é um exemplo fácil, mas rapidamente se torna tedioso quando você tem mais do que alguns números. Para resolver esse problema, os matemáticos escrevem funções em termos de equações, como y \u003d x ^ 2 - 2x + 3. Usando essa equação compacta, você pode gerar quantos pares ordenados desejar: Conecte valores diferentes para x, faça o matemática e de onde saem seus valores.
Usos das funções no mundo real

Muitas funções servem como modelos matemáticos, permitindo que as pessoas compreendam detalhes de fenômenos que, de outra forma, permaneceriam misteriosos. Para dar um exemplo simples, a equação da distância para um objeto em queda é d \u003d 0,5 x g x t ^ 2, onde t é o tempo em segundos eg é a aceleração devida à gravidade. Conecte 9.8 para a gravidade da Terra em metros por segundo ao quadrado, e você poderá encontrar a distância que um objeto caiu a qualquer momento. Observe que, por toda a sua utilidade, os modelos têm limitações. A equação de exemplo funciona bem para soltar uma bola de aço, mas não uma pena, porque o ar diminui a velocidade da pena.