p Matemáticos da Universidade RUDN provaram o teorema de continuação único para uma solução unidimensional para um problema de difusão de ordem fracionária. Essas equações são usadas, por exemplo, para resolver problemas de difusão de partículas em um meio poroso como a infiltração de águas subterrâneas. Os resultados do trabalho dos matemáticos podem levar a uma análise mais precisa das soluções e sua simulação numérica. No caso geral, não existem tais teoremas de continuação para outras classes de equações semelhantes. O artigo foi publicado na revista Cálculo Fracional e Análise Aplicada . p A equação de difusão é uma equação diferencial parcial que descreve a penetração de partículas em um meio. Sua solução é uma função você do t e x , que dá a densidade das partículas no ponto x no tempo t . A equação de difusão unidimensional contém derivados de você em relação a t , bem como derivados de você em relação a x e uma segunda derivada de você em relação a x .

p A equação unidimensional também é chamada de equação de condução de calor:A propagação de calor pode ser considerada uma forma de difusão. Na equação de difusão fracionária unidimensional, a derivada de você em relação a t é substituído pela derivada fracionária de Caputo. Se a derivada é o limite de uma razão, então a derivada fracionária de Caputo de uma ordem fracionária uma é determinado pela fórmula integral, onde para valores inteiros uma existem valores padrão das derivadas. Para a equação de difusão unidimensional usual, um teorema de continuação pode ser provado [s]. [/ s] Ele afirma que, se a densidade e o fluxo de partículas são zero em um ponto limite ao longo de um intervalo de tempo, então não há difusão em x e t sendo considerada. Mesmo um aluno do primeiro ano pode entender a prova desta afirmação, Contudo, até recentemente, resultados semelhantes para a equação de difusão fracionada eram desconhecidos.

p O matemático Masahiro Yamamoto da Universidade RUDN e seus colegas consideraram a equação de difusão fracionária unidimensional para um parâmetro arbitrário a com um valor entre 0 e 1. Eles conseguiram demonstrar que no caso fracionário também há um teorema de continuação, além disso, na mesma formulação:se a densidade e o fluxo de partículas são zero em um ponto limite ao longo de um intervalo de tempo, então nada se difunde.

p A ideia da prova é esta:os matemáticos pegam uma solução, veja como se comporta em uma continuação, e obter uma estimativa integral para o aumento desta solução, dependendo do parâmetro. Segue da estimativa integral que a única solução satisfatória é a solução zero. Não há estimativas semelhantes conhecidas para equações semelhantes com derivadas fracionárias.

p A equação de difusão fracionada é aplicada em vários campos da física, matemática, e ciência da computação. Por exemplo, esta equação descreve a difusão de partículas em um meio poroso. Essas equações têm sido usadas com sucesso para descrever o comportamento das emissões de poluição nas águas subterrâneas. Outra área de aplicação de tais equações é o processamento de imagens.