determinante Na álgebra linear, o
determinante de uma matriz quadrada é um valor escalar que fornece informações sobre as propriedades e o comportamento da matriz. É indicado por
det (a) ou
| a | , onde A é a matriz.
Propriedades dos determinantes: *
multiplicação escalar: O determinante de um múltiplo escalar de uma matriz é igual ao escalar elevado à potência da ordem da matriz multiplicada pelo determinante da matriz original:det (ka) =k^n det (a), onde n é a ordem da matriz.
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transponha: O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposição:det (a) =det (a^t).
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operações de linha/coluna: Operações de linha ou coluna elementares em uma matriz afetam o determinante da seguinte forma:
* A troca de duas linhas/colunas altera o sinal do determinante.
* Multiplicar uma linha/coluna por um escalar multiplica o determinante por esse escalar.
* Adicionar um múltiplo de uma linha/coluna a outra linha/coluna não altera o determinante.
* Matrizes invertíveis: Uma matriz quadrada é invertível se e somente se o determinante for diferente de zero.
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Dependência linear: Se as linhas ou colunas de uma matriz forem linearmente dependentes, seu determinante será zero.
Cálculo de determinantes: *
para matrizes 2x2: det ([[a, b], [c, d]]) =ad - bc
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para matrizes 3x3: det ([[[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]) =a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - eg)
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Para matrizes maiores: Os determinantes de matrizes maiores podem ser calculados usando vários métodos, como expansão do cofator, eliminação gaussiana ou usando algoritmos especializados.
Aplicações de determinantes: *
Resolvendo equações lineares: Os determinantes são usados na regra de Cramer para resolver sistemas de equações lineares.
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Encontrando autovalores: Os determinantes são usados para encontrar os autovalores de uma matriz.
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Áreas e volumes de cálculo: Os determinantes podem ser usados para calcular a área de um paralelogramo e o volume de um paralelepipe.
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Transformações geométricas: Os determinantes são usados na geometria para representar o fator de escala das transformações lineares.
Exemplo: Considere a matriz A =[[2, 1], [3, 4]].
O determinante de um é:
det (a) =(2 * 4) - (1 * 3) =8 - 3 =5.
Como o determinante é diferente de zero, a matriz A é invertível.
