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Polinômios aparecem em toda a matemática e nas ciências. Depois de compreender os fundamentos, as operações – adição, subtração, multiplicação e divisão – tornam-se rotina. Embora a divisão possa ser um pouco mais complicada, as técnicas principais são diretas e confiáveis.

Polinômios:definição e exemplos

Um polinômio é uma expressão algébrica que contém um ou mais termos com variáveis, expoentes inteiros e constantes. Principais restrições:

• Sem divisão por uma variável.
• Sem expoentes negativos ou fracionários.
• Apenas um número finito de termos.

Exemplos:

\(x^3 + 2x^2 – 9x – 4\)

\(xy^2 – 3x + y\)

Os polinômios podem ser categorizados por grau (o maior expoente total) ou pelo número de termos:monômios (1 termo), binômios (2 termos), trinômios (3 termos), etc.

Adição e subtração de polinômios

Para combinar polinômios, agrupe termos semelhantes – termos que compartilham as mesmas variáveis e expoentes. Os coeficientes podem diferir.

Exemplo:Combine 08

Etapa 1 – agrupar termos semelhantes:

\((x^3 + 9x^3) + (3x + 2x) + y\)

Passo 2 – adicionar coeficientes:

\(10x^3 + 5x + y\)

Para subtração, distribua o sinal de menos e combine os termos semelhantes.

Exemplo:17

Reescrever:

\(4x^4 + 3y^2 + 6y – 2x^4 – 2y^2 – y\)

Combinar:

\((4x^4 – 2x^4) + (3y^2 – 2y^2) + (6y – y) =2x^4 + y^2 + 5y\)

Quando um sinal de menos precede um colchete, lembre-se de inverter o sinal de cada termo dentro dele.

Exemplo:25

Expande para:

\(4xy + x^2 – 6xy + 3x^2\)

Multiplicando Expressões Polinomiais

Use a propriedade distributiva:multiplique cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo e depois combine os termos semelhantes.

Exemplo:38

\(4x × 2x^2 + 4x × y =8x^3 + 4xy\)

Mais complexo:

\((2y^3 + 3x) \vezes (5x^2 + 2x)\)

\(=(2y ^ 3 \ vezes 5x ^ 2) + (2y ^ 3 \ vezes 2x) + (3x \ vezes 5x ^ 2) + (3x \ vezes 2x) \)

\(=10y^3x^2 + 4y^3x + 15x^3 + 6x^2\)

Dividindo expressões polinomiais

A divisão longa segue o mesmo padrão da divisão numérica longa. Escreva o divisor à esquerda e o dividendo à direita.

Exemplo:47

Passo 1 – divida os termos iniciais:55 . Escreva 68 acima da linha.

Passo 2 – multiplicar:70 . Subtraia do dividendo:

86 menos 96 .

Etapa 3 – desça o próximo termo (aqui, –10). Repita:

Divida os termos iniciais:104 . Multiplique:111 .

Subtrair:126 . Sem resto.

Resultado:131 .

Sempre que possível, fatorar o dividendo antes da divisão pode simplificar o processo.

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