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Ao mergulhar pela primeira vez na trigonometria, você encontrará um poderoso conjunto de ferramentas chamadas identidades de meio ângulo. Essas fórmulas permitem traduzir expressões trigonométricas que envolvem θ /2 em expressões que usam o ângulo mais familiar θ . Na prática, eles ajudam você a simplificar uma expressão ou a calcular o valor exato de uma função trigonométrica quando o argumento é a metade de um ângulo bem conhecido.

Identidades principais de meio-ângulo

Abaixo estão as identidades primárias de que você precisa. Embora muitos textos os apresentem de uma forma, cada um pode ser transformado algebricamente em diversas variações úteis.

Identidade de meio ângulo para seno

\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

Identidade de meio ângulo para cosseno

\(\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}\)

Identidades de meio-ângulo para tangente

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 + \cosθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 – \cosθ}{\sinθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ – \cotθ\)

Identidades de meio-ângulo para cotangente

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 – \cosθ}}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 – \cosθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 + \cosθ}{\sinθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ + \cotθ\)

Exemplo Prático:Calculando sin15°

Vamos ver como aplicar essas identidades para encontrar o valor exato de sin15° , um ângulo que não faz parte da família padrão de 30°, 45° ou 60°.

1. Expresse o ângulo como metade de um valor conhecido

Definir θ /2 =15°, dando θ =30°. Como 30° é um ângulo familiar, podemos utilizar a identidade do meio ângulo do seno.

2. Selecione a fórmula apropriada

Porque precisamos do pecado , usamos:\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

3. Resolva o sinal ±

O sinal depende do quadrante. Aqui θ =30° está no QuadranteI, onde o seno é positivo, então descartamos a opção negativa.

4. Substitua valores conhecidos

Substitua cos30° com seu valor exato \(\sqrt{3}/2\) :\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{1 – \sqrt{3}/2}{2}}\)

5. Simplificar

Multiplique o numerador e o denominador dentro da raiz por 2 para limpar a fração:\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2(1 – \sqrt{3}/2)}{4}}\)

O que simplifica para:\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2 – \sqrt{3}}{4}}\)

Finalmente, fatore a raiz quadrada de 4:\(\sin(15°) =\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\)

Assim, o valor exato de sin15° é \(\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\) .

Referência rápida do quadrante para determinação de sinais

• QuadranteI:todas as funções são positivas.
• Quadrante II:seno e cossecante são positivos.
• Quadrante III:tangente e cotangente são positivas.
• QuadranteIV:cosseno e secante são positivos.

Seguindo essas etapas, você pode aplicar identidades de meio ângulo com segurança a qualquer problema trigonométrico, seja simplificando uma expressão ou encontrando um valor exato.