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Ao mergulhar em trigonometria ou cálculo, você encontrará funções como seno, cosseno e tangente. Adivinhar o valor de uma equação trigonométrica com um gráfico ou calculadora pode ser entediante ou até impossível. É por isso que as identidades trigonométricas – relações curtas e comprovadas – são essenciais para simplificar e resolver estas equações.

TL;DR

As identidades de ângulo duplo permitem expressar sin(2θ), cos(2θ) e tan(2θ) em termos de funções de ângulo único. Elas são um subconjunto das fórmulas mais gerais de soma e diferença.

Identidades de ângulo duplo para seno

Existem duas formas equivalentes:

\\(\\sin(2\\theta)=2\\sin(\\theta)\\cos(\\theta)\\)

\\(\\sin(2\\theta)=\\frac{2\\tan(\\theta)}{1+\\tan^2(\\theta)}\\)

Identidades de ângulo duplo para cosseno

O cosseno pode ser escrito de várias maneiras úteis:

\\(\\cos(2\\theta)=\\cos^2(\\theta)-\\sin^2(\\theta)\\)

\\(\\cos(2\\teta)=2\\cos^2(\\teta)-1\\)

\\(\\cos(2\\teta)=1-2\\sin^2(\\teta)\\)

\\(\\cos(2\\theta)=\\frac{1-\\tan^2(\\theta)}{1+\\tan^2(\\theta)}\\)

Identidade de ângulo duplo para tangente

Apenas uma forma prática é usada:

\\(\\tan(2\\theta)=\\frac{2\\tan(\\theta)}{1-\\tan^2(\\theta)}\\)

Como usar identidades de ângulo duplo

Essas identidades são inestimáveis quando você precisa reescrever uma expressão trigonométrica para que reste apenas um tipo de função. O símbolo do ângulo pode ser qualquer letra – θ, α, x ou β – porque a identidade vale para todos os ângulos.

Exemplo 1

Reescreva cos2x+sin2x usando apenas sinx e cosx:

\\(\\cos(2x)+\\sin(2x)=\\bigl(2\\cos^2(x)-1\\bigr)+\\bigl(2\\sin(x)\\cos(x)\\bigr)\\)

\\(\\quad=2\\cos(x)\\bigl(\\cos(x)+\\sin(x)\\bigr)-1\\)

Exemplo 2

1. Simplifique 2cos²32–1 :

\\(2\\cos^2(32)-1=\\cos(2\\times32)=\\cos(64)\\)

2. Simplifique 2sinαcosα onde α=β⁄2 :

\\(2\\sin(α)\\cos(α)=\\sin(2\\alpha)=\\sin(\\beta)\\)