Por Ariel Balter, Ph.D. Atualizado em 30 de agosto de 2022

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No cálculo, a derivada é uma ferramenta fundamental que quantifica como uma função muda. Por exemplo, se 02 representa a posição de um veículo no tempo 11 , sua derivada 29 fornece a velocidade do veículo. Visualmente, a derivada é igual à inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um determinado ponto. Embora a definição conceitual dependa de limites, na prática os matemáticos empregam um conjunto de regras padrão e tabelas de consulta para calcular derivadas rapidamente.

A derivada como inclinação

Conceitualmente, a inclinação de uma linha reta entre dois pontos é a subida ao longo do percurso:33 . Para uma função 41 em um 59 específico , a derivada é a inclinação da reta que apenas toca a curva em 62 . Para aproximar isso, traça-se uma linha a partir de 74 para um ponto próximo 80 onde 90 é muito pequeno. A corrida é 108 e o aumento é 115 . Portanto, a inclinação é de aproximadamente 120 . Tomando o limite como 135 se aproxima de zero fornece a inclinação exata, denotada por 147 ou 150 .

A derivada de uma função de potência

Usando a definição de limite, podemos derivar a derivada de uma função de potência 166 . Por exemplo, se 170 , então

187 .

Expandindo 198 dá 203 . Como 210 tende a zero, os termos contendo 220 desaparece, deixando 239 . Em geral, 242 .

Derivados da série de potências

Muitas funções podem ser expressas como séries de potências, ou seja, somas infinitas na forma 252 . Por exemplo, a função seno se expande para

266

A diferenciação termo a termo produz a série de potências para 270 :

285

Uso de tabelas e regras de derivadas

Embora os métodos das séries de limites e de potências forneçam a base, os matemáticos baseiam-se frequentemente em tabelas pré-computadas para derivadas elementares:296 , 305 , 318 , e assim por diante. Para funções compostas ou de produto, regras como a regra da cadeia e a regra do produto são indispensáveis. Por exemplo, a regra da cadeia fornece 328 , e a regra do produto fornece 331 . Ao combinar estas regras padrão com as tabelas, qualquer função diferenciável pode ser tratada analiticamente. Quando as funções se tornam extremamente complexas, ferramentas computacionais como Mathematica ou SymPy são empregadas para automatizar o processo.