Por Bert Markgraf
22 de julho de 2023, 21h42 EST

TL;DR

Um produto é o resultado da multiplicação de dois ou mais números. As principais propriedades de multiplicação que simplificam os cálculos são as propriedades comutativas, distributivas, associativas e de identidade. Estas regras se aplicam a todos os números reais, desde inteiros até frações.

O que é um produto?

O produto dos números é o valor que você obtém após realizar a multiplicação. Por exemplo, o produto de 2, 5 e 7 é:

2 × 5 × 7 =70

Embora diferentes conjuntos de números possam produzir o mesmo produto – 6 × 4 =24, 2 × 12 =24, 8 × 3 =24 – a operação de multiplicação é governada por quatro propriedades distintas que a diferenciam da adição, subtração e divisão.

A propriedade comutativa da multiplicação

Comutatividade significa que a ordem dos fatores não afeta o produto. Quer você calcule 8 × 2 ou 2 × 8, o resultado será sempre 16. Essa propriedade também vale para adição, mas não para subtração ou divisão.

Exemplos:

3 ÷ 4 =0,75 ≠ 4 ÷ 3 =1,33…
7 – 5 =2 ≠ 5 – 7 =–2

A propriedade distributiva da multiplicação

Multiplicar uma soma por um número equivale a multiplicar cada parcela individualmente e depois somar os resultados:

4 × (3 + 6) =(4 × 3) + (4 × 6) =12 + 24 =36

A divisão não compartilha esta propriedade:6 ÷ (3 + 9) ≠ 6 ÷ 3 + 6 ÷ 9.

A propriedade associativa dos produtos

Ao multiplicar mais de dois números, você pode agrupá-los arbitrariamente sem alterar o resultado. Por exemplo:

12 × (4 × 2) =12 × 8 =96
ou
(12 × 4) × 2 =48 × 2 =96

Em contraste, a divisão e a subtração não são associativas.

A propriedade de identidade da multiplicação

Multiplicar qualquer número pelo elemento de identidade 1 deixa-o inalterado:

uma × 1 =uma

Exemplo:

((24 × 3) + 2 – 6) × 1 =((24 × 3) – 4) =68

Terminologia em Aritmética Básica

Compreender as funções de cada número ajuda a evitar confusão:

• Multiplicação: multiplicando × multiplicador =produto.
• Divisão: dividendo ÷ divisor =quociente.
• Adição: adendo + adendo =soma.
• Subtração: minuendo – subtraendo =diferença.

Tipos de produtos em matemática avançada

Além da aritmética elementar, os produtos aparecem em vários contextos matemáticos:

• Produto cartesiano de conjuntos (por exemplo, pares (x, y)).
• Produto escalar em cálculo vetorial.
• Multiplicação de matrizes em álgebra linear.
• Produto tensorial de espaços vetoriais.

Cada um deles se baseia na ideia central de combinar fatores – o que chamamos de multiplicandos e multiplicadores em termos elementares.

Para um mergulho mais profundo em cada tipo, consulte textos especializados em teoria dos conjuntos, álgebra linear ou análise tensorial.