Na matemática, equações simples podem gerar uma evolução complexa no tempo e padrões intrigantes no espaço. Um exemplo famoso disso é o conjunto Mandelbrot, nomeado após o matemático franco-americano de origem polonesa, Benoit B. Mandelbrot (1924-2010), o fractal mais estudado. Este conjunto é baseado em uma única equação quadrática com apenas um parâmetro e uma variável. Os fascinantes padrões fractais do conjunto de Mandelbrot atraíram a atenção muito além da matemática.

Um artigo de Ralph Andrzejak, intitulado "Quimeras confinadas por limites fractais no plano complexo, "faz parte de uma edição especial da revista Caos em memória do professor russo Vadim S. Anishchenko, (1943-2020), publicado em 3 de maio de 2021. Andrzejak é chefe do Grupo de Análise de Séries Temporais Não Linear no Departamento de Tecnologias da Informação e Comunicação da UPF (DTIC). O trabalho generaliza o conjunto de Mandelbrot para quatro equações quadráticas. A figura mostrada acima é um exemplo dos padrões gerados por meio dessa abordagem.

Uma jornada por muitas ordens de magnitude

Andrzejak observa que "a complexidade dos padrões fractais pode ser vista quando nos aproximamos de detalhes cada vez mais pequenos, "que o autor ilustra na imagem abaixo. Ele explica a imagem dizendo que" globalmente, o padrão mostrado no painel superior esquerdo da figura lembra o conjunto clássico de Mandelbrot. Contudo, assim que inspecionarmos os detalhes, podemos ver padrões que não podem ser encontrados no conjunto de Mandelbrot. Para ver esses detalhes melhor, ampliamos o quadrado para produzir o próximo painel. "

"Zoom iterativo em padrões fractais. Da esquerda para a direita e de cima para baixo, os painéis subsequentes aumentam os quadrados dos painéis anteriores correspondentes. A primeira figura acima aparece novamente, aqui como a quinta etapa da ampliação.

O autor usa uma comparação para enfatizar que esses padrões são de fato em muitas ordens de magnitude. Ele afirma que "o zoom aplicado aos doze painéis que compõem a imagem corresponde a explodir um átomo do tamanho de um SUV". "À medida que aumentamos o zoom, aumentando o tamanho da imagem, vemos que existe uma rica variedade de formas e formas esteticamente intrigantes. Os padrões que descobrimos podem parecer menos filigranados e menos ordenados, mas eles podem ser mais variados do que aqueles encontrados no conjunto de Mandelbrot. "

Interação de fractais e sincronização

Mas há mais do que padrões fractais para abordar a proposta de Andrzejak. Como o autor usa quatro equações em vez de uma, ele também foi capaz de estudar a sincronização dentro desses padrões fractais. Como podemos entender isso? Andrzejak explica dizendo que "o conjunto de Mandelbrot é baseado em uma equação com um parâmetro e uma variável. Podemos imaginar essa variável como uma pequena bola se movendo na superfície de uma grande mesa redonda. O que acontece com essa bola depende do parâmetro do equação. Para alguns valores deste parâmetro, a bola se move e está sempre na mesa. O conjunto de todos esses valores de parâmetros para os quais a bola permanece na mesa é o que define o conjunto de Mandelbrot. Pelo contrário, para os valores de parâmetro restantes, a bola cai da mesa em algum momento. "

Andrzejak continua dizendo que "pode-se pensar que as quatro equações que estamos usando descrevem o movimento de não apenas um, mas quatro bolas na superfície da mesa. Uma vez que as equações estão conectadas, as bolas não podem se mover livremente. Contudo, eles se atraem, como o sol, Terra e lua se atraem pela gravidade ”. O pesquisador acrescenta que“ em decorrência dessa atração, as quatro bolas podem mostrar várias formas de sincronização. Os dois extremos são:As quatro bolas se movem juntas ao longo dos mesmos caminhos ou cada bola segue seu próprio caminho. "Andrzejak então enfatiza que" o mais importante, além desses extremos, está encontrando a chamada sincronização parcial. Por exemplo, duas bolas podem se mover em sincronia, enquanto as outras duas bolas permanecem dessincronizadas deste movimento. Este estado particular de sincronização parcial é chamado de estado quimera, "daí o título do artigo.

Uma questão de grande importância para a dinâmica do mundo real

Se nos perguntarmos se o modelo matemático em questão pode ser relevante para a dinâmica do mundo real, Andrzejak responde "Sim. Com certeza. O melhor exemplo é o cérebro. Se todos os nossos neurônios sincronizassem ou saíssem de sincronia, nosso cérebro não conseguia mais fazer seu trabalho. Nosso cérebro só pode funcionar corretamente se alguns neurônios sincronizam enquanto outros neurônios permanecem fora de sincronia. A sincronização parcial é essencial para que o cérebro funcione adequadamente. "O autor relaciona isso ao seu trabalho dizendo:" demonstramos como é possível estabelecer a sincronização parcial em um modelo muito simples e, além disso, mostramos como esta sincronização parcial está confinada dentro dos limites do fractal através da sincronização e dessincronização completa. "O autor conclui:" Se estudarmos os mecanismos básicos de sincronização parcial em modelos muito simples, isso pode ajudar a entender como ele é estabelecido e como pode ser mantido estável em sistemas complexos como o cérebro humano. "