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Um número racional pode ser expresso como uma fração p /q onde ambos p e q são inteiros e q ≠ 0. Para subtrair dois números racionais, eles devem compartilhar um denominador comum. O mesmo princípio se aplica a expressões racionais – frações polinomiais – onde o objetivo é fatorar cada termo em sua forma mais simples antes de encontrar um denominador comum.

Subtração de números racionais

Vamos começar com dois números racionais genéricos:p /q e x /s . Para calcular p /q  −x /s , multiplique a primeira fração por y /s e o segundo por q /q (ambos iguais a 1). Isso produz:

\(\frac{p}{q} - \frac{x}{y} =\frac{py}{qy} - \frac{qx}{qy} =\frac{py - qx}{qy}\)

O denominador qy é o mínimo denominador comum (MDC). A utilização do LCD garante um resultado correto e simplifica a expressão.

Exemplos ilustrativos

1. Subtraia 1/4 de 1/3

Escreva a subtração como \(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\) . O LCD é 12:

\(\frac{4}{12} - \frac{3}{12} =\frac{1}{12}\)

2. Subtraia 16/3 de 24/7

Expresse as frações com um fator comum de 8:

\(\frac{7}{8\times3} \text{ e } \frac{3}{8\times2}\)

Após o ajuste, o LCD é 48:

\(\frac{7}{24} - \frac{3}{16} =\frac{14 - 9}{48} =\frac{5}{48}\)

Subtraindo Expressões Racionais

Ao trabalhar com expressões racionais, fatore o numerador e o denominador de cada termo. Cancele quaisquer fatores comuns antes de combinar frações. Isto reduz a complexidade do LCD e mantém a álgebra gerenciável.

Por exemplo:

\(\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9x + 20} =\frac{(x-4)(x+2)}{(x-5)(x-4)} =\frac{x+2}{x-5}\)

Exemplo Prático

Faça a seguinte subtração:

\(\frac{2x}{x^2 - 9} - \frac{1}{x + 3}\)

Fatore o quadrático no primeiro denominador:

\(x^2 - 9 =(x+3)(x-3)\)

Reescreva a expressão:

\(\frac{2x}{(x+3)(x-3)} - \frac{1}{x+3}\)

O LCD é (x+3)(x-3) . Multiplique a segunda fração por (x-3)/(x-3) :

\(\frac{2x - (x-3)}{(x+3)(x-3)} =\frac{x+3}{x^2-9}\)

Após a simplificação, o resultado é \(\frac{x+3}{x^2-9}\) .