A tangente é uma das funções trigonométricas fundamentais, ao lado do seno e do cosseno. Ele liga os ângulos de um triângulo às proporções de seus lados e é indispensável em áreas que vão da engenharia à física. Neste guia, percorreremos a definição clássica de triângulo retângulo, ilustraremos seu uso com um exemplo simples e, em seguida, mostraremos como o mesmo valor pode ser derivado de outras funções trigonométricas e calculado usando uma expansão em série de potências.

Etapa 1:identificar os componentes do triângulo

Rotule o triângulo retângulo para que as relações fiquem claras. Coloque o ângulo reto no vértice C, fazendo com que a hipotenusa seja oposta a esse ângulo. Seja o ângulo agudo de interesse θ no vértice A. O lado adjacente a θ é rotuladob, e o lado oposto a θ é rotuladoa. Os dois catetos (aandb) juntamente com a hipotenusa formam o triângulo completo.

Etapa 2:definir a função tangente

Por definição, a tangente de um ângulo é a razão entre o comprimento do lado oposto ao ângulo e o comprimento do lado adjacente ao ângulo:

\[\tan\theta =\frac{a}{b}\]

Etapa 3:calcular um exemplo simples

Considere um triângulo retângulo isósceles, onde os catetos são iguais:a=b. Aqui, \(\tan\theta =1\). Como ambos os ângulos agudos são 45°, confirmamos que \(\tan45^{\circ}=1\).

Etapa 4:derivar a tangente do seno e do cosseno

Porque \(\sin\theta =\frac{a}{h}\) e \(\cos\theta =\frac{b}{h}\), dividindo os dois dá:\[\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]

Etapa 5:calcular tangente para qualquer ângulo usando expansão em série

Para maior precisão ou ângulos não inteiros, use a série Maclaurin:\[\sin x =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\]\[\cos x =1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots\]Então\[\tan x =\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots}{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots}\]
Truncar a série com a precisão desejada; para a maioria dos propósitos práticos, alguns termos são suficientes.