Uma linha tangente toca uma curva suave exatamente em um ponto, compartilhando a mesma inclinação instantânea da curva naquele local. Determinar sua equação é uma tarefa rotineira de cálculo que depende da derivada da função.

Etapa 1 – Diferenciar a função

Calcule f ′(x) usando regras de diferenciação padrão. Para funções de potência, f(x)=xⁿ, a regra da potência fornece f ′(x)=nxⁿ⁻¹. Por exemplo, para f(x)=2x²+4x+10, a derivada é f ′(x)=4x+4=4(x+1).

Quando a função é um produto, aplique a regra do produto:(f₁f₂)′ =f₁f₂′ + f₁′f₂. Por exemplo, f(x)=x²(x²+2x) produz f ′(x)=x²(2x+2)+2x(x²+2x)=4x³+6x².

Passo 2 – Avaliar a Inclinação no Ponto Desejado

A inclinação da tangente é igual à derivada avaliada no valor x escolhido. Para f(x)=2x²+4x+10 em x=5, a inclinação é m =f ′(5) =4(5+1) =24.

Etapa 3 – Construir a equação da reta tangente

Primeiro encontre o ponto de tangência substituindo o valor de x na função original:f(5)=2·5²+4·5+10=80. Portanto, o ponto é (5,80). Usando a forma ponto-inclinação y−y₀=m(x−x₀) dá

y−80 =24(x−5). Reorganizar para a forma de interceptação de inclinação resulta em y =24x − 1915.

Essa expressão final é a equação da reta tangente a f(x) em x=5.