Se você conhece dois pontos que caem em uma curva exponencial específica, você pode definir a curva resolvendo a função exponencial geral usando esses pontos. Na prática, isso significa substituir os pontos por y e x na equação y = ab ^{x. O procedimento é mais fácil se o valor x para um dos pontos for 0, o que significa que o ponto está no eixo y. Se nenhum dos pontos tiver um valor x zero, o processo para resolver xey é um pouco mais complicado.}

Por que funções exponenciais são importantes

Muitos sistemas importantes seguem padrões exponenciais de crescimento e decair. Por exemplo, o número de bactérias em uma colônia geralmente aumenta exponencialmente, e a radiação ambiente na atmosfera após um evento nuclear geralmente diminui exponencialmente. Tomando dados e traçando uma curva, os cientistas estão em uma posição melhor para fazer previsões.

De um par de pontos para um gráfico

Qualquer ponto em um gráfico bidimensional pode ser representado por dois números, geralmente escritos na forma (x, y), em que x define a distância horizontal da origem e y representa a distância vertical. Por exemplo, o ponto (2, 3) é duas unidades à direita do eixo y e três unidades acima do eixo x. Por outro lado, o ponto (-2, -3) é duas unidades à esquerda do eixo y. e três unidades abaixo do eixo x.

Se você tiver dois pontos, (x _{1, y 1) e (x 2, y 2), você pode definir a função exponencial que passa por esses pontos, substituindo-os na equação y = ab ^{x e resolvendo para a e b. Em geral, você tem que resolver este par de equações:}}

y _{1 = ab ^{x1 e y 2 = ab x2,.}}

desta forma, a matemática parece um pouco complicada, mas parece menos depois de ter feito alguns exemplos.

Um ponto no eixo X

Se um dos valores x - - digamos x _{1 - é 0, a operação se torna muito simples. Por exemplo, resolver a equação para os pontos (0, 2) e (2, 4) produz:}

2 = ab ^{0 e 4 = ab 2. Como sabemos que b 0 = 1, a primeira equação se torna 2 = a. Substituir a na segunda equação rende 4 = 2b 2, que simplificamos para b 2 = 2, ou b = raiz quadrada de 2, que é igual a aproximadamente 1,41. A função de definição é então y = 2 (1,41) x.}

Nenhum ponto no eixo X

Se nenhum dos valores x for zero, resolver o par de equações é ligeiramente mais pesado. Henochmath nos leva através de um exemplo fácil para esclarecer este procedimento. Em seu exemplo, ele escolheu o par de pontos (2, 3) e (4, 27). Isso produz o seguinte par de equações:

27 = ab ⁴

3 = ab ²

Se você dividir a primeira equação pela segunda, você obtém

9 = b ²

so b = 3. É possível que b também seja igual a -3, mas neste caso, suponha que seja positivo.

Você pode substituir este valor por b em qualquer equação para obter um. É mais fácil usar a segunda equação, então:

3 = a (3) ^{2, que pode ser simplificado para 3 = a9, a = 3/9 ou 1/3.}

A equação que passa por esses pontos pode ser escrita como y = 1/3 (3) ^x.

Um exemplo do mundo real

Desde 1910, o crescimento da população humana tem exponencial, e ao traçar uma curva de crescimento, os cientistas estão em melhor posição para prever e planejar o futuro. Em 1910, a população mundial era de 1,75 bilhão e, em 2010, era de 6,87 bilhões. Tomando 1910 como ponto de partida, isso dá o par de pontos (0, 1,75) e (100, 6,87). Como o valor x do primeiro ponto é zero, podemos encontrar facilmente a.

1.75 = ab ^{0 ou a = 1.75. Conectar esse valor, juntamente com os do segundo ponto, na equação exponencial geral produz 6,87 = 1,75b 100, o que dá o valor de b como a centésima raiz de 6,87 /1,75 ou 3,93. Portanto, a equação se torna y = 1,75 (centésima raiz de 3,93) x. Embora seja necessário mais do que uma régua de cálculo para fazer isso, os cientistas podem usar essa equação para projetar números futuros da população para ajudar os políticos no presente a criar políticas apropriadas.}