Em matemática, um recíproco de um número é o número que, quando multiplicado pelo número original, produz 1. Por exemplo, o recíproco da variável x é 1 /x, porque x • 1 /x \u003d x /x \u003d 1. Neste exemplo, 1 /x é a identidade recíproca de x e vice-versa. Na trigonometria, qualquer um dos ângulos que não sejam de 90 graus em um triângulo retângulo pode ser definido por razões chamadas seno, cosseno e tangente. Aplicando o conceito de identidades recíprocas, os matemáticos definem mais três proporções. Seus nomes são co-secantes, secantes e cotangentes. Cosecante é a identidade recíproca do seno, secante a do cosseno e cotangente a da tangente.
Como determinar identidades recíprocas
Considere um ângulo θ, que é um dos dois ângulos que não são de 90 graus em um triângulo retângulo. Se o comprimento do lado do triângulo oposto ao ângulo for "b", o comprimento do lado adjacente ao ângulo e oposto aos hipotenus é "a" e o comprimento da hipotenusa é "r", podemos definir os três relações trigonométricas primárias em termos desses comprimentos.
A identidade recíproca do pecado θ deve ser igual a 1 /sin θ, pois esse é o número que, quando multiplicado por sin θ, produz 1. O mesmo vale para cos θ e tan θ. Os matemáticos atribuem a esses recíprocos os nomes co-secante, secante e cotangente, respectivamente. Por definição:
Você pode definir essas identidades recíprocas em termos dos comprimentos dos lados do triângulo retângulo da seguinte maneira:
< li> csc θ \u003d r /b
As relações a seguir são verdadeiras para qualquer ângulo θ:
Se você conhece o seno e o cosseno de um ângulo, pode derivar a tangente. Isso é verdade porque sin θ \u003d b /r e cos θ \u003d a /r, então sin θ /cos θ \u003d (b /r r /a) \u003d b /a. Como essa é a definição de tan θ, a seguinte identidade, conhecida como quociente, segue:
A identidade pitagórica decorre do fato de que, para qualquer triângulo retângulo com os lados aeb be hipotenusa r, o seguinte é verdadeiro: a 2 + b 2 \u003d r 2. Reorganizando os termos e definindo as proporções em termos de seno e cosseno, você chega à seguinte expressão: sin 2 θ + cos 2 θ \u003d 1 Duas outras relações importantes siga quando você insere identidades recíprocas para seno e cosseno na expressão acima:
