Em matemática, uma função é uma regra que relaciona todos os elementos de um conjunto, chamado domínio, com exatamente um elemento em outro conjunto, chamado intervalo. Em um eixo x-y, o domínio é representado no eixo x (eixo horizontal) e o domínio no eixo y (eixo vertical). Uma regra que relaciona um elemento no domínio a mais de um elemento no intervalo não é uma função. Esse requisito significa que, se você representar graficamente uma função, não poderá encontrar uma linha vertical que cruze o gráfico em mais de um local.

TL; DR (Muito longo; Não leu)

Uma relação é uma função apenas se relacionar cada elemento em seu domínio a apenas um elemento no intervalo. Quando você representa graficamente uma função, uma linha vertical a intercepta em apenas um ponto.
Representação matemática

Os matemáticos geralmente representam funções pelas letras "f (x)", embora outras letras funcionem tão bem . ". Se você escolher representar a função como g (y), leia-a como "g de y". A equação da função define a regra pela qual o valor de entrada x é transformado em outro número. Há um número infinito de maneiras de fazer isso. Aqui estão três exemplos:

f (x) \u003d 2x

g (y) \u003d y ^{2 + 2y + 1}

p (m) \u003d 1 /√ (m - 3)
Determinando o domínio

O conjunto de números para os quais a função "trabalha" é o domínio. Pode ser todos os números ou pode ser um conjunto específico de números. O domínio também pode ser todos os números, exceto um ou dois para os quais a função não funciona. Por exemplo, o domínio para a função f (x) \u003d 1 /(2-x) é todos os números, exceto 2, porque quando você digita dois, o denominador é 0 e o resultado é indefinido. O domínio para 1 /(4 - x ^{2), por outro lado, são todos os números, exceto +2 e -2 porque o quadrado de ambos os números é 4.}

Você também pode identificar o domínio de uma função observando seu gráfico. Começando na extrema esquerda e movendo para a direita, desenhe linhas verticais através do eixo x. O domínio é todos os valores de x para os quais a linha cruza o gráfico.
Quando uma relação não é uma função?

Por definição, uma função relaciona cada elemento do domínio a apenas um elemento no gráfico. alcance. Isso significa que cada linha vertical que você desenha no eixo x pode cruzar a função em apenas um ponto. Isso funciona para todas as equações lineares e de potência superior, nas quais apenas o termo x é elevado a um expoente. Nem sempre funciona para equações nas quais os termos xey são elevados a uma potência. Por exemplo, x ^{2 + y 2 \u003d a 2 define um círculo. Uma linha vertical pode cruzar um círculo em mais de um ponto, portanto esta equação não é uma função.}

Em geral, um relacionamento f (x) \u003d y é uma função somente se, para cada valor de x que você se conecta a ele, obtém apenas um valor para y. Às vezes, a única maneira de saber se um determinado relacionamento é uma função ou não é tentar vários valores para x para ver se eles produzem valores exclusivos para y.

Exemplos: As seguintes equações definem funções?

y \u003d 2x +1 Essa é a equação de uma linha reta com a inclinação 2 e interceptação em y 1, por isso é uma função.

y2 \u003d x + 1 Seja x \u003d 3. O valor para y pode então ser ± 2, portanto isso NÃO é uma função.

y ^{3 \u003d x 2 Não importa qual valor definimos para x, obteremos apenas um valor para y, portanto, isso é uma função.}

y ^{2 \u003d x 2 Como y \u003d ± √x 2, isso NÃO é uma função.}