Enquanto as palavras em inglês "sequência" e "série" têm significados semelhantes, na matemática são conceitos completamente diferentes. Uma sequência é uma lista de números colocados em uma ordem definida, enquanto uma série é a soma dessa lista de números. Existem muitos tipos de sequências, incluindo aquelas baseadas em listas infinitas de números. Sequências diferentes e as séries correspondentes têm propriedades diferentes e podem dar resultados surpreendentes.

TL; DR (muito longo; não leu)

Sequências são listas de números colocados em uma ordem definida de acordo com a determinadas regras. A série correspondente a uma sequência é a soma dos números nessa sequência. As séries podem ser aritméticas, o que significa que há uma diferença fixa entre os números da série, ou geométricas, o que significa que há um fator fixo. As séries infinitas não têm número final, mas ainda podem ter uma soma fixa em determinadas condições.
Tipos de sequências e séries

As seqüências comuns são aritméticas ou geométricas. Em uma sequência aritmética, cada número ou termo da sequência difere do termo anterior pela mesma quantidade. Por exemplo, se uma diferença de sequência aritmética for 2, uma sequência aritmética correspondente pode ser 1, 3, 5 .... Se a diferença for -3, uma sequência pode ser 4, 1, -2 .... A sequência aritmética é definido pelo número inicial e pela diferença.

Para seqüências geométricas, os termos diferem por um fator. Por exemplo, uma sequência com um fator 2 pode ser 2, 4, 8 ... e uma sequência com um fator 0,75 pode ser 32, 24, 18 .... A sequência geométrica é definida pelo número inicial e pelo número fator.

Os tipos de série dependem da sequência que está sendo adicionada. Uma série aritmética adiciona os termos de uma sequência aritmética e uma série geométrica adiciona uma sequência geométrica.
Sequências e séries finitas e infinitas

As seqüências e as séries correspondentes podem ser baseadas em um número fixo de termos ou um número infinito. Uma sequência finita possui um número inicial, uma diferença ou fator e um número total fixo de termos. Por exemplo, a primeira sequência aritmética acima com oito termos seria 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. A primeira sequência geométrica acima com seis termos seria 2, 4, 8, 16, 32, 64 A série aritmética correspondente teria um valor de 64 e a série geométrica 126. Seqüências infinitas não têm um número fixo de termos, e seus termos podem crescer até o infinito, diminuir para zero ou se aproximar de um valor fixo. A série correspondente também pode ter um resultado infinito, zero ou fixo.
Séries convergentes e divergentes

As séries infinitas são divergentes se a soma se aproxima do infinito à medida que o número de termos aumenta. Uma série infinita é convergente se sua soma se aproximar de um valor não infinito, como zero ou outro número fixo. As séries são convergentes se os termos da sequência subjacente se aproximam rapidamente de zero.

A série que adiciona os termos da sequência infinita 1, 2, 4 ... é divergente porque os termos da sequência continuam crescendo, permitindo que o soma para atingir um valor infinito à medida que o número de termos aumenta. As séries 1, 0,5, 0,25 ... são convergentes porque os termos rapidamente se tornam muito pequenos.

Embora as sequências sejam listas ordenadas de números e as séries sejam somas, ambas podem ser ferramentas importantes na avaliação de conjuntos de números e as propriedades de convergência ou divergência podem ter implicações na vida real. Uma série divergente geralmente representa uma condição instável, enquanto uma série convergente geralmente significa que um processo ou estrutura será estável.