As equações de movimento nas coordenadas polares esféricas podem ser derivadas da segunda lei de Newton, F =MA, aplicada a uma partícula que se move em um espaço tridimensional.

Aqui está o colapso:

1. Coordenadas polares esféricas:

* r: Distância radial da origem.
* θ: Ângulo polar (ângulo do eixo z).
* φ: Ângulo azimutal (ângulo no plano xy do eixo x).

2. Velocidade e aceleração:

* VELOCIDADE :
* v_r =dr/dt (velocidade radial)
* v_θ =r dθ/dt (velocidade angular na direção θ)
* v_φ =r sin (θ) dφ/dt (velocidade angular na direção φ)
* Aceleração:
* a_r =d²r/dt² - r (dθ/dt) ² - r sin² (θ) (dφ/dt) ² (aceleração radial)
* a_θ =r d²θ/dt² + 2 (dr/dt) (dθ/dt) - r sin (θ) cos (θ) (dφ/dt) ² (aceleração angular na direção θ)
* a_φ =r sin (θ) d²φ/dt² + 2 (dr/dt) sin (θ) (dφ/dt) + 2r cos (θ) (dθ/dt) (dφ/dt) (aceleração angular na direção φ)

3. Segunda Lei de Newton:

* f =ma
* f_r =m a_r
* f_θ =m a_θ
* f_φ =m a_φ

4. Equações de movimento:

Ao substituir as expressões pela aceleração pelas equações acima, obtemos as equações de movimento:

* Direção radial:
m (d²r/dt² - r (dθ/dt) ² - r sin² (θ) (dφ/dt) ²) =f_r
* Direção do ângulo polar:
m (r d²θ/dt² + 2 (dr/dt) (dθ/dt) - r sin (θ) cos (θ) (dφ/dt) ²) =f_θ
* Direção do ângulo azimutal:
m (r sin (θ) d²φ/dt² + 2 (dr/dt) sin (θ) (dφ/dt) + 2r cos (θ) (dθ/dt) (dφ/dt)) =f_φ/dt)

5. Pontos importantes:

* f_r, f_θ, f_φ: Eles representam os componentes da força líquida que atuam na partícula nas direções radial, polar e azimutal, respectivamente.
* Resolvendo as equações: Essas equações são equações diferenciais de segunda ordem e as resolvê-las exigem especificar as condições iniciais (posição e velocidade em t =0) e a força que atua na partícula.

Exemplo:

Para uma partícula que se move sob a influência de uma força central (como a gravidade), os componentes da força são:

* F_r =-k/r² (onde k é uma constante)
* F_θ =0
* F_φ

Conectá -los às equações de movimento, obtemos as equações específicas para uma partícula que se move sob uma força central nas coordenadas polares esféricas.

Deixe -me saber se você gostaria de ver as equações de movimento para campos de força específicos ou se tiver outras perguntas!