thomas-bethge/iStock/GettyImages

Em matemática, o inverso de um número é o valor que, quando multiplicado pelo original, resulta em 1. Por exemplo, o inverso da variável x é \frac{1}{x} porque x \times \frac{1}{x} =\frac{x}{x} =1 .

Na trigonometria, os dois ângulos não retos de um triângulo retângulo podem ser expressos com as relações familiares seno, cosseno e tangente. Ampliando esse conceito, os matemáticos definem as razões recíprocas:cossecante (csc), secante (sec) e cotangente (cot). Estes são os recíprocos de seno, cosseno e tangente, respectivamente.

Como determinar identidades recíprocas

Considere um triângulo retângulo com um ângulo agudo θ . Deixe o lado oposto a θ ser b , o lado adjacente será a , e a hipotenusa é r . As principais razões trigonométricas são:

\(\text{seno }θ =\sin θ =\frac{b}{r}\)
\(\text{coseno }θ =\cos θ =\frac{a}{r}\)
\(\text{tangente }θ =\tan θ =\frac{b}{a}\)

Por definição, o inverso de cada razão é o valor que se multiplica por 1. Assim definimos:

\(\text{cosecante }θ =\csc θ =\frac{1}{\sin θ} =\frac{r}{b}\)
\(\text{secante }θ =\sec θ =\frac{1}{\cos θ} =\frac{r}{a}\)
\(\text{cotangente }θ =\cot θ =\frac{1}{\tan θ} =\frac{a}{b}\)

Essas identidades recíprocas satisfazem as seguintes relações fundamentais para qualquer ângulo θ :

\(\sin θ \vezes \csc θ =1\)
\(\cos θ \vezes \sec θ =1\)
\(\tan θ \vezes \cot θ =1\)

Identidades trigonométricas adicionais

Conhecer o seno e o cosseno nos permite derivar a tangente por meio da identidade do quociente:

\(\frac{\sin θ}{\cos θ} =\tan θ\)
\(\frac{\cos θ}{\sin θ} =\cot θ\)

A identidade pitagórica segue da relação do triângulo retângulo a ² + b ² =r ². Reorganizando e substituindo as razões seno e cosseno resulta:

\(\sin^2 θ + \cos^2 θ =1\)

Inserir as identidades recíprocas nesta expressão dá mais duas relações essenciais:

\(\tan^2 θ + 1 =\seg^2 θ\)
\(\cot^2 θ + 1 =\csc^2 θ\)

Essas identidades formam a espinha dorsal de muitas provas e aplicações trigonométricas, desde geometria simples até cálculos avançados de engenharia.