Uma função expressa relações entre constantes e uma ou mais variáveis. Por exemplo, a função f (x) = 5x + 10 expressa uma relação entre a variável x e as constantes 5 e 10. Conhecidas como derivadas e expressas como dy /dx, df (x) /dx ou f '(x), diferenciação encontra a taxa de mudança de uma variável em relação a outra - no exemplo, f (x) em relação a x. A diferenciação é útil para encontrar a solução ideal, ou seja, encontrar as condições máximas ou mínimas. Existem algumas regras básicas no que diz respeito à diferenciação de funções.

Diferencie uma função constante. A derivada de uma constante é zero. Por exemplo, se f (x) = 5, então f '(x) = 0.

Aplique a regra de energia para diferenciar uma função. A regra de poder afirma que se f (x) = x ^ n ou x elevado à potência n, então f '(x) = nx ^ (n - 1) ou x elevado à potência (n - 1) e multiplicado por n. Por exemplo, se f (x) = 5x, então f '(x) = 5x ^ (1 - 1) = 5. Da mesma forma, se f (x) = x ^ 10, então f' (x) = 9x ^ 9 ; e se f (x) = 2x ^ 5 + x ^ 3 + 10, então f '(x) = 10x ^ 4 + 3x ^ 2.

Encontre a derivada de uma função usando a regra do produto. O diferencial de um produto não é o produto dos diferenciais de seus componentes individuais: Se f (x) = uv, onde uev são duas funções separadas, então f '(x) não é igual a f' (u) multiplicado por f '(v). Em vez disso, a derivada de um produto de duas funções é a primeira vez que a derivada da segunda, mais a segunda vez a derivada da primeira. Por exemplo, se f (x) = (x ^ 2 + 5x) (x ^ 3), as derivadas das duas funções são 2x + 5 e 3x ^ 2, respectivamente. Então, usando a regra do produto, f '(x) = (x ^ 2 + 5x) (3x ^ 2) + (x ^ 3) (2x + 5) = 3x ^ 4 + 15x ^ 3 + 2x ^ 4 + 5x ^ 3 = 5x ^ 4 + 20x ^ 3.

Obtenha a derivada de uma função usando a regra de quociente. Um quociente é uma função dividida por outra. A derivada de um quociente é igual ao denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador e, em seguida, dividido pelo denominador ao quadrado. Por exemplo, se f (x) = (x ^ 2 + 4x) /(x ^ 3), as derivadas das funções do numerador e do denominador são 2x + 4 e 3x ^ 2, respectivamente. Então, usando a regra do quociente, f '(x) = [(x ^ 3) (2x + 4) - (x ^ 2 + 4x) (3x ^ 2)] /(x ^ 3) ^ 2 = (2x ^ 4 + 4x ^ 3 - 3x ^ 4 - 12x ^ 3) /x ^ 6 = (- x ^ 4 - 8x ^ 3) /x ^ 6.

Use derivativos comuns. As derivadas das funções trigonométricas comuns, que são funções de ângulos, não precisam ser derivadas de primeiros princípios - as derivadas de sin x e cos x são cos x e -sin x, respectivamente. A derivada da função exponencial é a própria função - f (x) = f '(x) = e ^ x, e a derivada da função logarítmica natural, ln x, é 1 /x. Por exemplo, se f (x) = sen x + x ^ 2 - 4x + 5, então f '(x) = cos x + 2x - 4.