Suponha que você tenha n tipos de itens e deseje selecionar uma coleção de r deles. Podemos querer esses itens em alguma ordem específica. Nós chamamos esses conjuntos de permutações de itens. Se o pedido não importa, chamamos o conjunto de combinações de coleções. Para ambas as combinações e permutações, você pode considerar o caso em que você escolhe alguns dos n tipos mais de uma vez, o que é chamado de 'com repetição', ou o caso em que você escolhe cada tipo apenas uma vez, chamado 'sem repetição'. '. O objetivo é ser capaz de contar o número de combinações ou permutações possíveis em uma determinada situação.

Ordenações e Fatoriais

A função fatorial é freqüentemente usada no cálculo de combinações e permutações. N! significa N × (N – 1) × ... × 2 × 1. Por exemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. O número de maneiras de solicitar um conjunto de itens é um fatorial. Pegue as três letras a, bec. Você tem três opções para a primeira letra, duas para a segunda e apenas uma para a terceira. Em outras palavras, um total de 3 × 2 × 1 = 6 pedidos. Em geral, existem n! maneiras de ordenar n itens.

Permutações com repetição

Suponha que você tenha três salas que você vai pintar, e cada uma delas será pintada de uma das cinco cores: vermelho (r), verde ( g), azul (b), amarelo (y) ou laranja (o). Você pode escolher cada cor quantas vezes quiser. Você tem cinco cores para escolher para o primeiro quarto, cinco para o segundo e cinco para o terceiro. Isso dá um total de 5 × 5 × 5 = 125 possibilidades. Em geral, o número de maneiras de escolher um grupo de r itens em uma ordem específica a partir de n escolhas repetitivas é n ^ r.

Permutações sem Repetição

Agora, suponha que todas as salas sejam uma cor diferente. Você pode escolher entre cinco cores para o primeiro quarto, quatro para o segundo e apenas três para o terceiro. Isto dá 5 × 4 × 3 = 60, o que acontece de ser 5! /2 !. Em geral, o número de maneiras independentes de selecionar r itens em uma ordem específica a partir de n escolhas não repetitivas é n! /(N – r).

Combinações sem Repetição

Em seguida, esqueça qual sala é qual cor. Basta escolher três cores independentes para o esquema de cores. A ordem não importa aqui, por isso (vermelho, verde, azul) é o mesmo que (vermelho, azul, verde). Para qualquer escolha de três cores, existem 3! maneiras que você pode encomendá-los. Então você reduz o número de permutações por 3! para obter 5! /(2! × 3!) = 10. Em geral, você pode escolher um grupo de r itens em qualquer ordem a partir de uma seleção de n escolhas não repetitivas em n! /[(n – r)! × r! ] maneiras.

Combinações com Repetição

Finalmente, você precisa criar um esquema de cores no qual você pode usar qualquer cor quantas vezes quiser. Um código de contabilidade inteligente ajuda nessa tarefa de contagem. Use três Xs para representar os quartos. Sua lista de cores é representada por 'rgbyo'. Misture os Xs na sua lista de cores e associe cada X à primeira cor à esquerda dela. Por exemplo, rgXXbyXo significa que o primeiro quarto é verde, o segundo é verde e o terceiro é amarelo. Um X deve ter pelo menos uma cor à esquerda, portanto, há cinco slots disponíveis para o primeiro X. Como a lista agora inclui um X, há seis slots disponíveis para o segundo X e sete slots disponíveis para o terceiro X. todos, existem 5 × 6 × 7 = 7! /4! maneiras de escrever o código. No entanto, a ordem dos quartos é arbitrária, portanto, existem apenas arranjos exclusivos de 7! /(4! × 3!). Em geral, você pode escolher r itens em qualquer ordem a partir de n escolhas repetitivas em (n + r – 1)! /[(N – 1)! × r!] Maneiras.