Há uma Grande Diferença Importante entre encontrar a (s) Asymptote (s) Vertical (ais) do Gráfico de uma Função Rational e encontrar um Furo no Gráfico dessa Função. Mesmo com as calculadoras gráficas modernas que temos, é muito difícil ver ou identificar que há um furo no gráfico. Este artigo mostrará como identificar analiticamente e graficamente.
Usaremos uma determinada função racional como um exemplo para mostrar analiticamente, como encontrar uma assíntota vertical e um furo no gráfico dessa função. Deixe a Função Racional ser, ... f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6).
Fatorando o Denominador de f (x) = (x-2) /( x² - 5x + 6). Obtemos a seguinte função equivalente, f (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)]. Agora, se o denominador (x-2) (x-3) = 0, a função Rational será indefinida, ou seja, o caso de divisão por zero (0). Por favor, veja o artigo 'Como dividir por zero (0)', escrito por este mesmo Autor, Z-MATH.
Nós notaremos que Divisão por Zero, é Indefinido somente se a expressão Rational tiver um Numerador que não é igual a Zero (0), e o Denominador é igual a Zero (0), neste caso o Gráfico da função irá sem limites para Infinito Positivo ou Negativo no valor de x que faz com que a expressão Denominador seja igual a Zero . É nesse x que desenhamos uma linha vertical, chamada The Vertical Asymptote.
Agora, se o Numerador e o Denominador da expressão Rational forem ambos Zero (0), para o mesmo valor de x, então o A divisão por zero nesse valor de x é dita "sem sentido" ou indeterminada, e temos um buraco no gráfico nesse valor de x.
Então, na função racional f (x) = ( x-2) /[(x-2) (x-3)], vemos que em x = 2 ou x = 3, o Denominador é igual a zero (0). Mas em x = 3, notamos que o Numerador é igual a (1), isto é, f (3) = 1/0, portanto, uma Assíntota Vertical em x = 3. Mas em x = 2, temos f (2) ) = 0/0, 'sem sentido'. Há um buraco no gráfico em x = 2.
Podemos encontrar as coordenadas do buraco encontrando uma função racional equivalente a f (x), que tem todos os mesmos pontos de f (x), exceto no ponto em x = 2. Isto é, vamos g (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)], x ≠ 2, então, reduzindo para termos mais baixos, temos g (x) = 1 /(x- 3). Substituindo x = 2, nessa função obtemos g (2) = 1 /(2-3) = 1 /(- 1) = -1. então o buraco no gráfico de f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6), está em (2, -1).
