O sistema de números reais, frequentemente denotado por R, abrange todos os números reais. Números reais são aqueles que podem ser expressos em uma reta numérica e contêm todos os números racionais (números que podem ser expressos como frações) e números irracionais (números que não podem ser expressos como frações).
1. Números Racionais (ℚ):
Números racionais são números que podem ser escritos como quociente ou proporção de dois inteiros. Por exemplo, 1/2, 3/5 e -1/4 são números racionais. Todo número racional pode ser representado como um decimal com um número finito de dígitos ou um padrão repetido de dígitos.
2. Números irracionais (𝕀):
Números irracionais são números reais que não podem ser escritos como quociente de dois inteiros. Eles possuem um número infinito de dígitos não repetidos em sua representação decimal. Os exemplos incluem √2, π (a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro) e e (a base do logaritmo natural).
3. Por que os números irracionais são significativos:
A existência e as propriedades dos números irracionais têm implicações profundas na matemática:
- Eles ajudam a definir a estrutura e as propriedades de quantidades contínuas como distâncias, ângulos e volumes.
- Mostram que o conjunto dos números racionais é incompleto, levando ao conceito de um conjunto mais completo de números reais.
- São cruciais para a compreensão de muitos tópicos, como aproximações irracionais, análises reais e números transcendentais.
O sistema de números reais constitui a base de grande parte da matemática e tem aplicações generalizadas na ciência, na engenharia e na vida cotidiana. Ele fornece a estrutura fundamental para representar, comparar e manipular números para descrever e analisar fenômenos do mundo real e conceitos matemáticos.
