Imagine que você está no centro de uma arena perfeitamente circular, olhando para a multidão ao redor. Você vê um amigo em um lugar e um professor em outro. A que distância eles estão? Que ângulo formam as linhas de visão entre você e cada um deles? Estas questões são respondidas pelo conceito de um ângulo central .

Um ângulo central é o ângulo formado por dois raios traçados do centro do círculo até dois pontos de sua circunferência. Os dois raios são as linhas de visão de você para o amigo e para o professor. O ângulo entre eles é o ângulo central, o ângulo mais próximo do centro do círculo.

O amigo e professor sentam-se na circunferência do círculo. O caminho curvo ao longo da aresta que os conecta é chamado de arco .

Encontrando o ângulo central a partir do comprimento e circunferência do arco

Se você souber o comprimento do arco (a distância que você percorreria na arena para ir do amigo até o professor) e a circunferência total do círculo, a relação entre os dois é:

comprimento do arco / circunferência =ângulo central / 360°

Reorganizando dá:

ângulo central =(comprimento do arco / circunferência) × 360°

Esta proporção funciona porque a fração do perímetro do círculo que o arco ocupa é exatamente a mesma fração do ângulo completo de 360°.

Encontrando o ângulo central a partir do comprimento e raio do arco

Quando o raio r do círculo é conhecido, você pode calcular o ângulo central em radianos com:

θ =s/r

onde é é o comprimento do arco. O resultado θ é medido em radianos. Se preferir graus, multiplique o valor em radianos por 57,2958 (ou simplesmente use o método da circunferência acima).

Você também pode resolver o comprimento do arco:

s =θ × r

ou para o raio quando o comprimento do arco e o ângulo central são dados:

r =s/θ

O Teorema do Ângulo Central

Considere uma terceira pessoa – seu vizinho – sentada no lado oposto da arena. Da perspectiva do vizinho, as duas linhas de visão do amigo e do professor formam um ângulo inscrito (um ângulo cujos vértices estão na circunferência). O Teorema do Ângulo Central liga este ângulo inscrito ao ângulo central que você observa:

∠AOC =2∠ABC

Aqui, os pontos A e B são o amigo e o professor, C é o vizinho e O é o centro. O teorema é válido quando o vizinho está do mesmo lado da corda AB que o arco que não contém os outros pontos.

Exceção ao Teorema do Ângulo Central

Quando o ponto inscrito C se move dentro do arco menor entre A e B, o relacionamento muda. O ângulo inscrito torna-se o suplemento da metade do ângulo central:

∠ABC =180° – (∠AOC / 2)

Em outras palavras, o ângulo inscrito e metade do ângulo central somam 180°.

Visualize os conceitos

Math Open Reference oferece uma ferramenta interativa que permite arrastar o vizinho ao redor do círculo e observar como os ângulos centrais e inscritos evoluem em tempo real. Experimente para obter uma compreensão prática da teoria.

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