Você não pode resolver uma equação que contenha uma fração com um denominador irracional, o que significa que o denominador contém um termo com um sinal radical. Isso inclui quadrado, cubo e raízes mais altas. Livrar-se do sinal radical é chamado racionalizar o denominador. Quando o denominador tem um termo, você pode fazer isso multiplicando os termos superior e inferior pelo radical. Quando o denominador tem dois termos, o procedimento é um pouco mais complicado. Você multiplica as partes superior e inferior pelo conjugado do denominador e expande e simplesmente o numerador.

TL; DR (muito longo; não leu)

Para racionalizar uma fração, você tem multiplicar o numerador e o denominador por um número ou expressão que se livre dos sinais radicais no denominador.
Racionalizando uma fração com um termo no denominador

Uma fração com a raiz quadrada de um único termo no denominador é o mais fácil de racionalizar. Em geral, a fração assume a forma a /√x. Você o racionaliza multiplicando o numerador e o denominador por √x.

√x /√x • a /√x \u003d a√x /x

Como tudo que você fez foi multiplicar o fração por 1, seu valor não foi alterado.

Exemplo:

Racionalize 12 /√6

Multiplique o numerador e o denominador por √6 para obter 12√6 /6. Você pode simplificar isso dividindo 6 em 12 para obter 2, de modo que a forma simplificada da fração racionalizada é

2√6
Racionalizando uma fração com dois termos no denominador

Suponha que você tenha uma fração na forma (a + b) /(√x + √y). Você pode se livrar do sinal de radical no denominador multiplicando a expressão pelo seu conjugado. Para um binômio geral da forma x + y, o conjugado é x - y. Quando você os multiplica, obtém x ^{2 - y 2. Aplicando esta técnica à fração generalizada acima:}

(a + b) /(√ x - √y) • (√x - √y) /(√x - √y)

(a + b) • (√x - √y) /x - y

Expanda o numerador para obter

(a√x -a√y + b√x - b√y ) /x - y

Essa expressão se torna menos complicada quando você substitui números inteiros por algumas ou todas as variáveis.

Exemplo:

Racionalize o denominador da fração 3 /(1 - √y)

O conjugado do denominador é 1 - (-√y) \u003d 1+ √y. Multiplique o numerador e o denominador por esta expressão e simplifique:

[3 • (1 + √y)} /1 - y

(3 + 3√y) /1 - y
Racionalizando raízes de cubo

Quando você tem uma raiz de cubo no denominador, multiplica o numerador e o denominador pela raiz de cubo do quadrado do número sob o sinal radical para se livrar do sinal radical o denominador. Em geral, se você tiver uma fração no formato a / ^{3√x, multiplique as partes superior e inferior por 3√x 2.}

Exemplo:

Racionalize o denominador: 7 / ^3√x

Multiplique o numerador e o denominador por ^{3√x 2 para obter}

7 • ^{3√x 2 / 3√x • 3√x 2 \u003d 7 • 3√x 2 / 3√x 3}

7 • ^{3√x 2 /x}