As raízes quadradas são frequentemente encontradas em problemas de matemática e ciências, e qualquer aluno precisa aprender o básico das raízes quadradas para resolver essas questões. As raízes quadradas perguntam "que número, quando multiplicado por si só, dá o seguinte resultado" e, como tal, elaborá-las exige que você pense nos números de uma maneira ligeiramente diferente. No entanto, você pode entender facilmente as regras das raízes quadradas e responder a quaisquer perguntas que as envolvam, sejam elas cálculos diretos ou apenas simplificação.

TL; DR (muito tempo; não leu)

Uma raiz quadrada pergunta qual número, quando multiplicado por ela mesma, fornece o resultado após o símbolo √. Então √9 \u003d 3 e √16 \u003d 4. Cada raiz tecnicamente tem uma resposta positiva e uma negativa, mas na maioria dos casos a resposta positiva é aquela em que você estará interessado.

Você pode fatorar raízes quadradas assim como números comuns, então √ ab
\u003d √ a
√ b
, ou √6 \u003d √2√3.
O que é uma raiz quadrada?

As raízes quadradas são o oposto de "esquadrar" um número ou multiplicá-lo por si mesmo. Por exemplo, três ao quadrado é nove (3 ^{2 \u003d 9), então a raiz quadrada de nove é três. Nos símbolos, isso é √9 \u003d 3. O símbolo “√” diz para você pegar a raiz quadrada de um número, e você pode encontrá-lo na maioria das calculadoras.}

Lembre-se de que todo número realmente tem duas raízes quadradas. Três multiplicado por três é igual a nove, mas três negativos multiplicados por três negativos também são iguais a nove, então 3 ^{2 \u003d (−3) 2 \u003d 9 e √9 \u003d ± 3, com o ± representando "plus ou menos. ”Em muitos casos, você pode ignorar as raízes quadradas negativas dos números, mas às vezes é importante lembrar que todo número tem duas raízes.}

Você pode ser solicitado a pegar a" raiz do cubo "ou" quarta raiz ”de um número. A raiz do cubo é o número que, quando multiplicado por si só duas vezes, é igual ao número original. A quarta raiz é o número que, quando multiplicado por si só, três vezes é igual ao número original. Como raízes quadradas, essas são exatamente o oposto de tomar o poder dos números. Portanto, 3 <sup>3 \u003d 27, e isso significa que a raiz do cubo de 27 é 3 ou ∛27 \u003d 3. O símbolo “∛” representa a raiz do cubo do número que vem depois dele. Às vezes, as raízes também são expressas como potências fracionárias, então √ x
\u003d x
1/2 e ∛ x

\u003d x
1/3.
Simplificando raízes quadradas</sup>

Uma das tarefas mais desafiadoras que você pode executar com raízes quadradas é simplificar grandes raízes quadradas, mas você só precisa seguir algumas regras simples para resolver essas questões. Você pode fatorar raízes quadradas da mesma maneira que fatorar números comuns. Assim, por exemplo 6 \u003d 2 × 3, então √6 \u003d √2 × √3.

Simplificar raízes maiores significa tomar a fatoração passo a passo e lembrar a definição de uma raiz quadrada. Por exemplo, √132 é uma grande raiz e pode ser difícil ver o que fazer. No entanto, você pode ver facilmente que é divisível por 2, para escrever √132 \u003d √2 √66. No entanto, 66 também é divisível por 2, então você pode escrever: √2 √66 \u003d √2 √2 √33. Nesse caso, uma raiz quadrada de um número multiplicado por outra raiz quadrada fornece apenas o número original (por causa da definição de raiz quadrada), então √132 \u003d √2 √2 √33 \u003d 2 √33.

Em resumo, você pode simplificar raízes quadradas usando as seguintes regras

√ ( a
× b
) \u003d √ a
× √ b

√ a
× √ a
\u003d a

Qual é a raiz quadrada de…

Usando as definições e regras acima, você pode encontrar as raízes quadradas da maioria dos números. Aqui estão alguns exemplos a serem considerados.
A raiz quadrada de 8

Isso não pode ser encontrado diretamente porque não é a raiz quadrada de um número inteiro. No entanto, o uso das regras de simplificação fornece:

√8 \u003d √2 √4 \u003d 2√2
A raiz quadrada de 4

Isso faz uso da raiz quadrada simples de 4 , que é √4 \u003d 2. O problema pode ser resolvido exatamente usando uma calculadora e √8 \u003d 2.8284 ....
A raiz quadrada de 12

Usando a mesma abordagem, tente resolver a raiz quadrada de 12. Divida a raiz em fatores e veja se é possível dividi-la em fatores novamente. Tente isso como um problema de prática e, em seguida, observe a solução abaixo:

√12 \u003d √2√6 \u003d √2√2√3 \u003d 2√3

Novamente, essa expressão simplificada pode ser usado em problemas, conforme necessário, ou calculado exatamente usando uma calculadora. Uma calculadora mostra que √12 \u003d 2√3 \u003d 3,4641….
A raiz quadrada de 20

A raiz quadrada de 20 pode ser encontrada da mesma maneira:

√20 \u003d √2√10 \u003d √2√2√5 \u003d 2√5 \u003d 4,4721….
A raiz quadrada de 32

Finalmente, resolva a raiz quadrada de 32 usando a mesma abordagem:

√32 \u003d √4√8

Aqui, observe que já calculamos a raiz quadrada de 8 como 2√2, e que √4 \u003d 2, então:

√32 \u003d 2 × 2√2 \u003d 4√2 \u003d 5.657 ....
Raiz quadrada de um número negativo

Embora a definição de uma raiz quadrada signifique que números negativos não devem ter uma raiz quadrada (porque qualquer número multiplicado por si só dá um número positivo como resultado), os matemáticos os encontraram como parte dos problemas de álgebra e criaram uma solução. O número "imaginário" i
é usado para significar "a raiz quadrada de menos 1" e quaisquer outras raízes negativas são expressas como múltiplos de i
. Então √ − 9 \u003d √9 × i
\u003d ± 3_i_. Esses problemas são mais desafiadores, mas você pode aprender a resolvê-los com base na definição de i
e nas regras padrão para raízes.
Exemplos de perguntas e respostas

Teste sua compreensão do quadrado raízes simplificando conforme necessário e calculando as seguintes raízes:

√50

√36

√70

√24

√27

Tente resolvê-los antes de examinar as respostas abaixo:

√50 \u003d √2 √25 \u003d 5√2 \u003d 7.071

√36 \u003d 6

√70 \u003d √7 √10 \u003d √7 √2 √5 \u003d 8.637

√24 \u003d √2 √12 \u003d √2 √2 √6 \u003d 2√6 \u003d 4.899

√27 \u003d √3 √9 \u003d 3√3 \u003d 5.196