Principais conclusões

• A Conjectura de Collatz, também conhecida como sequência "3n + 1", propõe que começar com qualquer número positivo e aplicar duas regras (se for par, dividir por dois; se for ímpar, triplicar e adicionar um) sempre acabará por levar para o número um.
• Este quebra-cabeça matemático simples escapou de uma prova formal, cativando matemáticos durante décadas com seu conceito direto, mas com comportamento complexo, levando a uma sequência imprevisível.
• Apesar de sua simplicidade, a conjectura continua sendo um dos problemas não resolvidos da matemática, demonstrando a natureza complexa dos números e os desafios de provar padrões aparentemente simples.

Os matemáticos estão empenhados em resolver problemas. No processo dessas tentativas de resolução de problemas, eles exploram ideias e às vezes apresentam outros problemas matemáticos para resolver. Alguns desses problemas podem levar gerações de matemáticos durante toda a sua carreira para serem resolvidos, e alguns requerem a ajuda de um supercomputador. Outros parecem simplesmente insolúveis – embora o consenso geral seja que seremos capazes de resolver todos os problemas matemáticos eventualmente.


Conteúdo

1. A história do problema matemático não resolvido
2. Por que a conjectura de Collatz também é chamada de sequência '3n + 1'?
3. Avanços limitados com a 'sequência de granizo'

A história do problema matemático não resolvido

A conjectura de Collatz, ou o “problema 3n+1”, é aquela que ainda estamos esperando para ver resolvida. Introduzida em 1937 pelo matemático alemão Lothar Collatz, a conjectura de Collatz é uma questão aparentemente simples, com uma resposta surpreendentemente evasiva. A conjectura postula que se você repetir duas operações aritméticas simples, acabará transformando cada número inteiro positivo no número um. O problema é que ainda não foi provado que isso seja verdadeiro para todos os números inteiros. Talvez com algum número a sequência galope até o infinito.

Os matemáticos testaram milhões de números naturais e ninguém provou que estavam errados. Mas também ninguém provou que isso é incondicionalmente correto. O lendário matemático húngaro Paul Erdos é citado como tendo dito:"A matemática pode não estar preparada para tais problemas."



Collatz apresentou sua conjectura apenas dois anos depois de receber seu doutorado pela Universidade de Berlim. Para alguém que realizou trabalhos matemáticos tão importantes em sua carreira, o fato de ser conhecido por um problema inovador – que poderia ser testado por um grupo de alunos da quarta série – é notável. Embora todos os cálculos apoiem a ideia de que a conjectura é verdadeira, o facto de ter permanecido sem solução durante 86 anos torna-a ainda mais intrigante.

Por que a conjectura de Collatz também é chamada de sequência '3n + 1'?

A sequência de Collatz também é chamada de sequência "3n + 1" porque é gerada começando com qualquer número positivo e seguindo apenas duas regras simples:se for par, divida por dois, e se for ímpar, triplique e adicione um. Portanto, “3n + 1”. Siga essas duas regras repetidamente e a conjectura afirma que, independentemente do número inicial, você sempre alcançará o número um.

Por exemplo, comece com o número sete. É um número ímpar, então você aplica o antigo tratamento 3n + 1, que é igual a 22. É um número par, o que significa que você precisa cortá-lo pela metade, o que nos dá 11. Aqui está o cálculo para o resto da sequência :


11 x 3 =33 + 1 =34 34/2 =17 17 x 3 =51 + 1 =52 52/2 =26 26/2 =13 13 x 3 =39 + 1 =40 40/2 =20 20/2 =10 10/2 =5 5 x 3 =15 + 1 =16 16/2 =8 8/2 =4 4/2 =2 2/2 =1
Então, se você começar com o número sete, a sequência de Collatz será 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Se você faça de novo a partir do número um, um número ímpar, você multiplica por três e soma um. A partir daí você obtém quatro, o que rapidamente reduz para um. Isso inicia o ciclo que nunca termina.

Avanços limitados com a 'Sequência Hailstone'

Outro nome para os números gerados na conjectura de Collatz é “sequência do granizo”. Como você pode ver na sequência listada acima, os números sobem e descem e sobem e descem como granizo em uma nuvem de tempestade, sendo elevados, acumulando gelo e, depois de cair em uma parte inferior da nuvem, soprados para cima novamente. Em algum momento eles caem no chão. Existem certos números que, uma vez alcançados em seus cálculos, caem mais rapidamente, mas todos acabam caindo para um.

Portanto, a conjectura de Collatz funciona para milhões e milhões de números – qualquer coisa com menos de 19 dígitos, caso você esteja pensando em tentar a sorte com algo menor – mas um dos problemas que os matemáticos estão tentando resolver é por que . Se entendessem isso, teriam uma maneira de dizer com certeza que funciona com todos os números naturais.



Uma coisa que torna a conjectura de Collatz tão confusa é que ela envolve um número infinito de inteiros. Mesmo o supercomputador mais poderoso não consegue verificar cada número para ver se a conjectura é verdadeira. Ainda não, pelo menos.

Nos últimos anos, um matemático fez um grande avanço na conjectura de Collatz. Terence Tao, um dos matemáticos mais talentosos do século passado, publicou um artigo em 2019 intitulado “Quase todas as órbitas de Collatz atingem valores quase limitados”. Tao não é desleixado – ele obteve seu doutorado. de Princeton aos 21 anos e se tornou o mais jovem professor de matemática da UCLA aos 24. Ele ganhou a Medalha Fields, o maior prêmio de matemática de todo o país, aos 31 anos. tem dois "quases" nele.

Basicamente, os resultados de Tao apontam para um novo método de abordagem do problema e observam como seria raro um número divergir da regra de Collatz. Raro, mas não necessariamente inexistente.

E isso, amigos, é o mais próximo que alguém chegou nos últimos anos de resolver a conjectura de Collatz. Lembre-se, se você tentar resolver sozinho, comece com números começando com pelo menos 20 dígitos.
Agora isso é interessante
O Último Teorema de Fermat é um problema matemático que permaneceu sem solução por 365 anos. Foi finalmente comprovado em 1995.