Você está sentado na aula de matemática tentando sobreviver ao seu último teste surpresa. O suor escorre pela sua testa enquanto você lê a mensagem:"Encontre a distância entre esses pontos."

A fórmula da distância que você está procurando é bastante simples e está ligado a um dos conceitos mais úteis e famosos de toda a matemática:o teorema de Pitágoras.


Conteúdo

1. Qual é a fórmula da distância?
2. Compreendendo o plano de coordenadas de ponto
3. O Teorema de Pitágoras e a Fórmula da Distância
4. Como encontrar a distância entre dois pontos

Qual é a fórmula da distância?

A fórmula da distância é uma equação algébrica usada para encontrar o comprimento de um segmento de linha entre dois pontos em um gráfico, chamado sistema de coordenadas cartesianas (também conhecido como plano de coordenadas do ponto).

Este plano bidimensional é definido por dois eixos perpendiculares (geralmente denominados eixo x e eixo y) que se cruzam em um ponto central denominado origem. Veja como isso é expresso:



Em um espaço bidimensional com dois pontos P (x₁, y₁) e Q(x₂, y₂), a distância (d) entre esses dois pontos é dada pela fórmula:d =√ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

Em um espaço tridimensional com dois pontos P(x₁, y₁, z₁) e Q(x₂, y₂, z₂), a distância (d) entre esses dois pontos é dada pela fórmula:d =√ (x₂ - x₁) ² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²

A seguir, daremos uma olhada mais de perto no plano de coordenadas do ponto, que pode ajudá-lo a encontrar pontos exatos por suas posições horizontais e verticais, essencial para tudo, desde problemas matemáticos até navegação GPS.

Compreendendo o plano de coordenadas de ponto

Quando a maioria das pessoas ouve a palavra “gráfico”, está imaginando um gráfico com duas linhas – uma vertical e outra horizontal – que se cruzam em um ângulo reto.

A linha vertical é chamada de eixo y e sua contraparte horizontal é o eixo x. Ambas as linhas trabalham juntas para contar uma história com dados.



Se você quiser entender onde um ponto está em seu gráfico, meça onde ele cai ao longo das duas dimensões (o eixo x e o eixo y). Estas são conhecidas como coordenadas do ponto.

Você precisa encontrar as coordenadas do primeiro ponto e do segundo ponto antes de calcular a distância entre eles. Você usará a fórmula da distância para medir o segmento de linha reta que conecta os dois pontos.

Agora vamos explorar a relação feliz entre o teorema de Pitágoras e a fórmula da distância.

O Teorema de Pitágoras e a Fórmula da Distância

O teorema de Pitágoras foi nomeado em homenagem ao filósofo grego Pitágoras, mas mais de um milênio antes de seu nascimento, os antigos babilônios já entendiam o princípio geométrico que agora está associado ao seu nome.

Em essência, o teorema de Pitágoras nos diz como encontrar o lado mais longo de um triângulo quando conhecemos os comprimentos dos outros dois lados, e a fórmula da distância usa essa ideia para medir a distância entre dois pontos em um gráfico, tratando os pontos como se estivessem nos cantos de um triângulo retângulo.



Para aqueles que precisam de uma rápida atualização, o teorema de Pitágoras diz:A área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados sobre os lados restantes.

Existem alguns pontos-chave para entender aqui. Um triângulo retângulo, ou triângulo retângulo, tem um ângulo medindo 90 graus, conhecido como ângulo reto. O lado mais longo deste triângulo é denominado hipotenusa, que está localizado oposto ao ângulo reto.

Como todos sabemos, um triângulo pode ter três lados, mas um quadrado tem quatro. Então, imagine pegar na hipotenusa de um triângulo retângulo e transformá-la numa das quatro retas de um quadrado totalmente novo. Em seguida, faça o mesmo com os outros dois lados do triângulo original. Você acabará com três quadrados individuais.

Segundo o teorema de Pitágoras, o quadrado formado pela hipotenusa tem área igual à soma das áreas dos quadrados formados pelos outros dois lados. Se a hipotenusa for rotulada como “c” e os outros dois lados forem rotulados como “a” e “b”, então poderíamos expressar essa ideia da seguinte forma:

Como encontrar a distância entre dois pontos

O primeiro e o segundo pontos em seu gráfico terão, cada um, uma coordenada x e uma coordenada y. Você pode calcular a distância mais curta entre esses dois pontos usando a fórmula da distância euclidiana, que é uma expressão algébrica relacionada ao teorema de Pitágoras.
D =√(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
Aqui, D significa "distância". Já x₂ e x₁, referem-se às coordenadas x do Ponto 2 e do Ponto 1, respectivamente. O mesmo vale para y₂ e y₁, exceto que essas são as duas coordenadas y.



Portanto, para calcular a distância, nosso primeiro passo é subtrair x₁ de x₂. Então temos que multiplicar o número resultante por ele mesmo (ou, em outras palavras, “elevar ao quadrado” esse número).

Depois disso, devemos subtrair y₁ de y₂ e elevar ao quadrado a resposta que obtemos ao fazer isso. Isso nos deixará com dois números que devemos somar.

Então, finalmente, pegue esse número e encontre sua raiz quadrada. E aquela raiz quadrada , senhoras e senhores, é a nossa distância.

Exemplo de fórmula de distância

OK, digamos que o ponto A tenha uma coordenada x de 2 e uma coordenada y de 5 (2,5). Suponhamos também que o ponto B tenha uma coordenada x de 9 e uma coordenada y de 13 (9,13). Insira esses valores na fórmula prática e você obterá isto:
D =√(9-2)² + (13-5)²
Quanto é 9 menos 2? Fácil, 7. E 13 menos 5 é 8, claro.

Agora ficamos com isso:
D =√7² + 8²
Se você "elevar ao quadrado" 7 - como multiplicar o número por ele mesmo - você acaba com 49. Quanto a 8 ao quadrado, isso resulta em 64. Vamos inserir esses valores na equação, hein?
D =√49 + 64
Agora estamos cozinhando. Adicione 49 e 64 e você terá 113.
D =√113
Qual é a raiz quadrada de 113? A resposta é 10,63, portanto:
D =10,63
Vá em frente e acerte seu próximo teste surpresa!

Este artigo foi atualizado em conjunto com a tecnologia de IA, depois verificado e editado por um editor do HowStuffWorks.
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Pitágoras era vegetariano. Como Tristam Stuart escreve em seu livro de 2008, “A Revolução Sem Sangue:Uma História Cultural do Vegetarianismo:De 1600 aos Tempos Modernos”, o antigo filósofo grego subscreveu “a noção de que todas as coisas vivas são afins, e o corolário de que isso era errado”. causar sofrimento aos animais."