O que é um número primo?

O que esses números têm em comum? Eles são todos números primos! geralt/Pixabay

Se você se lembra apenas vagamente da aula de matemática do ensino fundamental, talvez não se lembre do que é um número primo. É uma pena, porque se você está tentando manter seus e-mails protegidos contra hackers ou navegar na web confidencialmente em uma rede privada virtual (VPN), você está usando números primos, mesmo sem perceber.

Os números primos são uma parte crucial da criptografia RSA, que usa números primos como chaves para desbloquear as mensagens escondidas em jargões digitais. Os números primos têm outras aplicações na vida, por isso é bom entendê-los. Agora, para sua pergunta original - 1 é um número primo e por que os números primos são importantes?

Conteúdo

O que é um número primo? E como isso se encaixa?
1 já foi considerado um número primo?
Por que 2 é o único número par primo?
Qual é a diferença entre números primos e compostos?
O que é a peneira de Eratóstenes?
A lista de números primos entre 1 e 100
Por que os números primos são importantes

O que é um número primo? E como isso se encaixa?

Então, afinal, o que são números primos? E como os números primos se tornaram tão importantes no mundo moderno? Como explica o Wolfram MathWorld, um número primo — também conhecido simplesmente como primo — é um número positivo maior que 1 que só pode ser dividido por um e por ele mesmo. Precisa ser divisível por dois números. Com essa definição de números primos em mente, o número 1 não é um número primo.

Uma boa maneira de lembrar disso é saber que um número primo não pode ser dividido por nenhum outro número natural positivo sem deixar resto, decimal ou fração. Veja o exemplo do número primo 13. Ele tem apenas dois divisores:1 e 13. 13 ÷ 6 =2 com resto 1. Dividir um número primo por qualquer outro número natural resulta em números restantes.

1 já foi considerado um número primo?

Ao longo da história, os matemáticos lutaram com o conceito do que realmente define um número primo. No centro deste debate estava o estatuto do número 1. No século XIX, houve um debate sobre se 1 é um número primo ou não.

Antigamente, as pessoas acreditavam que 1 era primo. A base desta crença repousava na ideia de que um número primo é definido por ter apenas dois divisores inteiros positivos:um e ele mesmo. Assim, o único número inteiro que representou um desafio na categorização foi 1, porque, por esta definição básica, atendia aos critérios.

No entanto, à medida que a matemática evoluiu, houve uma mudança nessa perspectiva. Para tornar as teorias dos números e os teoremas resultantes mais consistentes e coerentes, os matemáticos revisitaram os critérios para um número ser identificado como primo. O conceito de números primos precisava de uma distinção entre números primos e compostos.

Pela definição de que um número primo possui exatamente dois divisores positivos distintos, o número 1 não se enquadrava, pois possui apenas um divisor positivo distinto:1. Portanto, a categorização mudou, não considerando mais 1 primo.

Essa mudança garantiu que todo número inteiro positivo maior que 1 fosse classificado como primo ou composto. Ajudou a esclarecer teorias e teoremas matemáticos, eliminando possíveis ambigüidades. Embora o debate tenha sido em grande parte resolvido com o consenso de que 1 não é um número primo, o debate histórico sublinha a natureza evolutiva das definições matemáticas e a busca constante pela precisão na disciplina.

Por que 2 é o único número par primo?

“O único número primo par é 2”, diz Debi Mink, professora associada aposentada de educação na Indiana University Southeast, cuja experiência inclui o ensino de matemática elementar. "Todos os outros números primos são números ímpares." Isso ocorre porque eles têm mais de dois fatores. Então, vamos dar uma olhada nisso.

Todos os números pares são números compostos. 2 é o único número primo par porque não tem mais do que dois fatores – seus únicos fatores são 1 e o próprio número 2. Para que um número seja classificado como primo, ele deve ter exatamente dois divisores. Como 2 tem exatamente dois fatores, 1 e o próprio número, 2, é um número primo.

Números como 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 são considerados números primos porque têm exatamente dois fatores, 1 e o próprio número. Números como 4, 6, 8, 9, 10 e 12 não são números primos porque possuem mais de dois fatores.

Qual é a diferença entre números primos e compostos?

Os números compostos são o oposto dos números primos. Eles podem ser divididos por outros números além de 1 e deles próprios.

Mark Zegarelli, autor de vários livros sobre matemática da popular série "For Dummies", que também ministra cursos preparatórios para testes, oferece uma ilustração envolvendo moedas que ele usa com alguns de seus alunos para explicar a diferença entre números primos e números compostos.

“Pense no número 6”, diz Zegarelli, citando um número composto. "Imagine que você tem seis moedas. Você poderia transformá-las em um retângulo, com duas fileiras de três moedas. Você também pode fazer isso com oito, colocando quatro moedas em duas fileiras. Com o número 12, você poderia transformá-lo em mais de um tipo de retângulo – você poderia ter duas fileiras de seis moedas, ou três vezes quatro."

“Mas se você pegar o número 5, não importa o quanto tente, não conseguirá colocá-lo em um retângulo”, observa Zegarelli. "O melhor que você pode fazer é amarrá-lo em uma linha, uma única linha de cinco moedas. Então, você poderia chamar 5 de um número não retangular. Mas a maneira mais fácil de dizer isso é chamá-lo de número primo."

Existem muitos outros números primos – 2, 3, 7 e 11 também estão na lista, e ela continua a partir daí. O matemático grego Euclides, por volta de 300 a.C., elaborou uma Prova da Infinitude dos Primos, que pode ter sido a primeira prova matemática a mostrar que existe um número infinito de números primos. (Na Grécia antiga, onde o conceito moderno de infinito não era bem compreendido, Euclides descreveu a quantidade de números primos simplesmente como “mais do que qualquer multidão atribuída de números primos”.)

Outra forma de compreender os números primos e compostos é considerá-los produtos de fatores, diz Zegarelli. "2 vezes 3 é igual a 6, então 2 e 3 são fatores de 6. Portanto, existem duas maneiras de fazer seis - 1 vezes 6 e 2 vezes 3. Gosto de pensar neles como pares de fatores. Então, com um composto número, você tem múltiplos pares de fatores, enquanto com um número primo, você tem apenas um par de fatores, uma vez o próprio número."

Provar que a lista de números primos é infinita não é tão difícil, diz Zegarelli. "Imagine que existe um último e maior número primo. Vamos chamá-lo de P. Então, pegarei todos os números primos até P e multiplicarei todos eles. Se eu fizer isso e adicionar um ao produto , esse número tem que ser primo."

Se um número for um número composto, por outro lado, é sempre divisível por alguma quantidade de números primos inferiores. "Um composto também pode ser divisível por outros compostos, mas, eventualmente, você pode decompô-lo em um conjunto de números primos." (Um exemplo:o número 48 tem exatamente dois fatores, 6 e 8, mas você pode dividi-lo ainda mais em mais do que apenas dois fatores:2 vezes 3 vezes 2 vezes 2 vezes 2.)

Qual é a peneira de Eratóstenes?

A Peneira de Eratóstenes é um método, introduzido pelo matemático grego Eratóstenes no terceiro século AEC, usado para encontrar os números primos e os números compostos entre um grupo de números.

O Crivo de Eratóstenes baseia-se na ideia de que os múltiplos de um número primo não são primos. Assim, ao pesquisar números primos, todos os múltiplos de cada número primo podem ser riscados. Isso elimina muitos números que de outra forma teriam sido tentados sem motivo, então a Peneira de Eratóstenes pode economizar muito tempo.

A lista dos números primos entre 1 e 100

Existem apenas 25 números primos entre os números 1 e 100:

Números primos entre 1 e 10:2, 3, 5, 7
Números primos entre 11 e 20:11, 13, 17, 19
Números primos entre 21 e 30:23, 29
Números primos entre 31 e 40:31, 37
Números primos entre 41 e 50:41, 43, 47
Números primos entre 51 e 100:53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Há um total de 25 números primos abaixo de 100. MichaelJayBerlin/Shutterstock

Por que os números primos são importantes

Então, por que os números primos exerceram tanto fascínio entre os matemáticos durante milhares de anos? Como explica Zegarelli, grande parte da matemática superior é baseada em números primos. Mas há também a criptografia, na qual os números primos têm uma importância crítica porque números realmente grandes possuem uma característica particularmente valiosa. Não há uma maneira rápida e fácil de saber se são números primos ou números compostos, diz ele.

A dificuldade de discernir entre enormes números primos e enormes números compostos torna possível que um criptógrafo chegue a enormes números compostos que sejam fatores de dois números primos realmente grandes, compostos de centenas de dígitos.

“Imagine que a fechadura da sua porta tenha um número de 400 dígitos”, diz Zegarelli. “A chave é um dos números de 200 dígitos que foram usados para criar aquele número de 400 dígitos. Se eu tiver um desses fatores no bolso, tenho a chave da casa. Se não tiver esses fatores, é muito difícil entrar."

É por isso que os matemáticos continuaram a trabalhar para chegar a números primos cada vez maiores, num projeto em curso chamado Great Internet Mersenne Prime Search. Em 2018, esse projeto levou à descoberta de um número primo composto por 23.249.425 dígitos, o suficiente para preencher 9.000 páginas de livros. Foram necessários 14 anos de cálculos para chegar a esse gigantesco número primo.

Você pode imaginar o quão impressionado Euclides deve ter ficado com isso.

Este artigo foi atualizado em conjunto com a tecnologia de IA, depois verificado e editado por um editor do HowStuffWorks.
Agora isso é legal
Embora muitos acreditem que os números primos são aleatórios, em um artigo de 2016, dois matemáticos da Universidade de Stanford descreveram um padrão aparente até então desconhecido, no qual os números primos tendiam a ser seguidos por outros números primos terminando em determinados dígitos, como detalha este artigo da Wired. Por exemplo, entre o primeiro bilhão de números primos, um número primo que termina em 9 tem cerca de 65% mais probabilidade de ser seguido por um número primo que termina em um do que de ser seguido por um número primo que termina em nove.