Quando você ouve as palavras “racional” e “irracional”, elas podem trazer à mente o incansável Spock analítico de “Star Trek”. Se você é matemático, entretanto, provavelmente pensa em proporções entre números inteiros versus raízes quadradas.

No domínio da matemática, onde as palavras às vezes têm significados específicos que são muito diferentes do uso diário, a diferença entre números racionais e números irracionais não tem nada a ver com emoções. Como existem infinitos números irracionais, seria bom obter uma compreensão básica deles.


Conteúdo

1. Propriedades de números irracionais
2. Números irracionais:exemplos e exceções
3. Por que usamos as palavras 'Racional' e 'Irracional'?
4. O papel dos números irracionais na sociedade moderna

Propriedades dos números irracionais

“Ao lembrar a diferença entre números racionais e irracionais, pense em uma palavra:proporção”, explica Eric D. Kolaczyk. Ele é professor do departamento de matemática e estatística da Universidade de Boston e diretor do Instituto Rafik B. Hariri de Computação e Ciência e Engenharia Computacional da universidade.

“Se você pode escrever um número como uma razão entre dois inteiros (por exemplo, 1 sobre 10, -5 sobre 23, 1.543 sobre 10, etc.), então o colocamos na categoria de números racionais”, disse Kolaczyk por e-mail. "Caso contrário, dizemos que é irracional."



Você pode expressar um número inteiro ou uma fração – partes de números inteiros – como uma razão, usando um número inteiro chamado numerador sobre outro inteiro chamado denominador. Você divide o denominador pelo numerador. Isso pode fornecer um número como 1/4 ou 500/10 (também conhecido como 50).

Números irracionais:exemplos e exceções

Os números irracionais, em contraste com os números racionais, são bastante complicados. Como explica o Wolfram MathWorld, eles não podem ser expressos por frações e, quando você tenta escrevê-los como um número com ponto decimal, os dígitos continuam indefinidamente, sem nunca parar ou repetir um padrão.

Então, que tipo de números se comportam de maneira tão maluca? Basicamente, aqueles que descrevem coisas complicadas.

Pi

Talvez o número irracional mais famoso seja pi – às vezes escrito como π, a letra grega para “p” – que expressa a razão entre a circunferência de um círculo e o diâmetro desse círculo. Como explicou o matemático Steven Bogart neste artigo da Scientific American de 1999, essa proporção será sempre igual a pi, independentemente do tamanho do círculo.

Desde que os matemáticos babilónicos tentaram calcular pi há quase 4.000 anos, sucessivas gerações de matemáticos continuaram a trabalhar, criando cadeias cada vez mais longas de expansão decimal com padrões não repetitivos.

Em 2019, a pesquisadora do Google Emma Hakura Iwao conseguiu estender o pi para 31.415.926.535.897 dígitos.

Algumas (mas não todas) raízes quadradas

Às vezes, uma raiz quadrada - isto é, um fator de um número que, quando multiplicado por si mesmo, produz o número com o qual você começou - é um número irracional, a menos que seja um quadrado perfeito que seja um número inteiro, como 4, o quadrado raiz de 16.

Um dos exemplos mais evidentes é a raiz quadrada de 2, que resulta em 1,414 mais uma sequência interminável de dígitos não repetidos. Esse valor corresponde ao comprimento da diagonal dentro de um quadrado, conforme descrito pela primeira vez pelos antigos gregos no teorema de Pitágoras.

Por que usamos as palavras “racional” e “irracional”?

“De fato, normalmente usamos ‘racional’ para significar algo mais parecido com base na razão ou algo semelhante”, diz Kolaczyk. "Seu uso em matemática parece ter surgido já em 1200 em fontes britânicas (de acordo com o Oxford English Dictionary). Se você rastrear tanto 'racional' quanto 'proporção' de volta às suas raízes latinas, descobrirá que em ambos os casos o root é sobre 'raciocínio', em termos gerais."

O que fica mais claro é que tanto os números irracionais quanto os racionais desempenharam papéis importantes no avanço da civilização.



Embora a linguagem provavelmente remonte à origem da espécie humana, os números surgiram muito mais tarde, explica Mark Zegarelli, professor de matemática e autor que escreveu 10 livros da série "For Dummies". Os caçadores-coletores, diz ele, provavelmente não precisavam de muita precisão numérica, além da capacidade de estimar e comparar quantidades aproximadamente.

“Eles precisavam de conceitos como 'Não temos mais maçãs'”, diz Zegarelli. "Eles não precisavam saber:'Temos exatamente 152 maçãs'."

Mas à medida que os humanos começaram a escavar lotes de terra para criar quintas, construir cidades e fabricar e comercializar bens, viajando para mais longe das suas casas, necessitaram de uma matemática mais complexa.

“Suponha que você construa uma casa com um telhado cuja elevação tenha o mesmo comprimento que o percurso da base até o ponto mais alto”, diz Kolaczyk. "Qual é o comprimento do trecho da superfície do telhado, do topo até a borda externa? Sempre um fator da raiz quadrada de 2 da elevação (percurso). E esse também é um número irracional."

O papel dos números irracionais na sociedade moderna

No século 21 tecnologicamente avançado, os números irracionais continuam a desempenhar um papel crucial, segundo Carrie Manore. Ela é cientista e matemática do Grupo de Sistemas de Informação e Modelagem do Laboratório Nacional de Los Alamos.

“Pi é o primeiro número irracional óbvio para se falar”, disse Manore por e-mail. "Precisamos dele para determinar a área e a circunferência dos círculos. É fundamental para calcular ângulos, e os ângulos são essenciais para navegação, construção, levantamento, engenharia e muito mais. A comunicação por radiofrequência depende de senos e cossenos que envolvem pi."



Além disso, os números irracionais desempenham um papel fundamental na matemática complexa que torna possível a negociação de ações de alta frequência, a modelação, a previsão e a maioria das análises estatísticas – todas atividades que mantêm a nossa sociedade em funcionamento.

"Na verdade", acrescenta Manore, "em nosso mundo moderno, quase faz sentido perguntar:'Onde estão os números irracionais não sendo usado?'"

Este artigo foi atualizado em conjunto com a tecnologia de IA, depois verificado e editado por um editor do HowStuffWorks.
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Computacionalmente, “quase sempre usamos aproximações desses números irracionais para resolver problemas”, explica Manore. "Essas aproximações são racionais, uma vez que os computadores só podem calcular com certa precisão. Embora o conceito de números irracionais seja onipresente na ciência e na engenharia, pode-se argumentar que, na verdade, nunca usamos um número irracional verdadeiro na prática."

Perguntas frequentes

O que são números irracionais?

Os números irracionais não podem ser expressos como uma proporção de dois inteiros. Quando escritos como decimal, eles continuam indefinidamente sem se repetir.

Quais são exemplos de números irracionais famosos?

Pi (π), que descreve a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, é talvez o número irracional mais famoso. Outro exemplo é a raiz quadrada de 2, que é aproximadamente 1,414 seguida por uma sequência interminável de dígitos não repetidos.

Qual ​​é o número de Euler e é um número irracional?

O número de Euler, frequentemente representado como “e”, é outro número irracional bem conhecido. É aproximadamente igual a 2,71828 e surge naturalmente em muitas áreas da matemática, especialmente em situações onde o crescimento está envolvido.

Como a proporção áurea se encaixa no conceito de números irracionais?

A proporção áurea, frequentemente denotada pela letra grega φ (phi), é um número irracional aproximadamente igual a 1,6180339887. Possui propriedades matemáticas únicas e aparece em vários domínios da arte, arquitetura e natureza devido às suas proporções esteticamente agradáveis.

Qual ​​foi o primeiro número irracional inventado?

A raiz quadrada de 2, também expressa como √2 ou 1,41421356237.