Você provavelmente tem uma ideia intuitiva do que é um círculo:o formato de uma cesta de basquete, uma roda ou uma moeda. Você pode até se lembrar do ensino médio que o raio é qualquer linha reta que começa no centro do círculo e termina em seu perímetro.

Um círculo unitário é apenas um círculo que tem um raio com comprimento de 1. Mas muitas vezes ele vem com alguns outros sinos e assobios.


Conteúdo

1. Por que o círculo unitário é importante?
2. Etapa 1:4 fatias de pizza
3. Etapa 2:3 tortas por US$ 6
4. Etapa 3:2 tabelas quadradas
5. Etapa 4:1, 2, 3
6. Ângulos em graus
7. Usando o círculo unitário na prática

Por que o círculo unitário é importante?

Um círculo unitário define relações de triângulo retângulo conhecidas como seno, cosseno e tangente. Essas relações descrevem como os ângulos e lados dos triângulos retângulos se relacionam entre si.

Digamos, por exemplo, que temos um triângulo retângulo com um ângulo de 30 graus e cujo lado mais longo, ou hipotenusa, tem comprimento de 7. Podemos usar nossas relações predefinidas de triângulo retângulo para descobrir os comprimentos dos lados dos dois restantes do triângulo. lados.



Este ramo da matemática, conhecido como trigonometria, tem aplicações práticas cotidianas, como construção, GPS, encanamento, videogames, engenharia, carpintaria e navegação aérea.

Para memorizar um círculo unitário padrão, precisamos ser capazes de lembrar três componentes principais:

1. Quatro quadrantes
2. 16 ângulos
3. (x, y) coordenadas para cada um dos 16 ângulos, onde o raio toca o perímetro do círculo

Para nos ajudar, vamos relembrar uma ida à Unidade Pizza Palace. Reserve alguns momentos para memorizar o seguinte até que você possa recitá-lo sem olhar:

• 4 fatias de pizza
• 3 tortas por US$ 6
• 2 mesas quadradas
• 1 , 2, 3

Etapa 1:4 fatias de pizza

Imagine uma pizza inteira, cortada em quatro fatias iguais. Em matemática, chamaríamos essas quatro partes do círculo de quadrantes.

Podemos usar coordenadas (x, y) para descrever qualquer ponto ao longo da borda externa do círculo. O valor x ou coordenada x representa a distância percorrida para a esquerda ou direita do centro, enquanto o valor y ou coordenada y representa a distância percorrida para cima ou para baixo.



A coordenada x é o cosseno do ângulo formado pelo ponto, a origem e o eixo x. A coordenada y corresponde ao valor exato da função seno para esse ângulo.

Em um círculo unitário, uma linha reta viajando desde o centro do círculo alcançará a borda do círculo na coordenada (1, 0). Aqui estão as coordenadas se a linha seguisse em outras direções:

• Esquerda :(-1, 0)
• Para cima :(0, 1)
• Para baixo :(0, -1)

Todos os quatro ângulos associados (em radianos, não graus) têm um denominador 2. (Um radiano é o ângulo formado ao tomar o raio e envolvê-lo em um círculo. Um grau mede ângulos pela distância percorrida. Um círculo tem 360 graus ou 2π radianos).

Os numeradores começam em 0, começando na coordenada (1,0), e contam 1π no sentido anti-horário. Este processo produzirá 0π/2, 1π/2, 2π/2 e 3π/2. Simplifique essas frações para obter 0, π/2, π e 3π/2.

Etapa 2:3 tortas por US$ 6

Comece com “3 tortas”. Dê uma olhada no eixo y. Todos os ângulos radianos diretamente à direita e à esquerda do eixo y têm um denominador 3. Cada ângulo restante tem um numerador que inclui o valor matemático pi, escrito como π.

"3 tortas por 6" é usado para lembrar os 12 ângulos restantes em um círculo unitário padrão, com três ângulos em cada quadrante. Cada um desses ângulos é escrito como uma fração.



O “por $6” serve para nos lembrar que em cada quadrante, os denominadores restantes são 4 e depois 6.

A parte mais complicada desta etapa é completar o numerador de cada fração.

No quadrante 2 (quarto superior esquerdo do círculo), coloque 2, depois 3 e depois 5 na frente de π.

Seu primeiro ângulo no quadrante 2 será 2π/3. Isso é facilmente calculado somando o 2 no numerador e o 3 no denominador, que é igual a 5.

Observe o ângulo reto no quadrante 4 (quarto inferior direito do círculo). Coloque este 5 no numerador na frente de π. Repita esse processo para os outros dois ângulos nos quadrantes 2 e 4.

Repetiremos o mesmo processo para os quadrantes 1 (canto superior direito) e 3 (canto inferior esquerdo). Lembre-se, assim como x é igual a 1x, π é igual a 1π. Portanto, estamos adicionando 1 a todos os denominadores no quadrante 1.

O processo para listar ângulos em graus (em vez de radianos) é descrito no final deste artigo.

Etapa 3:2 mesas quadradas

O “2” em “2 tabelas quadradas” serve para nos lembrar que todos os 12 pares de coordenadas restantes têm um denominador 2.

"Quadrado" serve para nos lembrar que o numerador de cada coordenada inclui uma raiz quadrada. Estamos apenas começando com o quadrante 1 para simplificar as coisas. (Dica:lembre-se de que a raiz quadrada de 1 é 1, portanto essas frações podem ser simplificadas para apenas 1/2.)

Etapa 4:1, 2, 3

O “1, 2, 3” mostra-nos a sucessão de números sob cada raiz quadrada. Para as coordenadas x do quadrante 1, contamos de 1 a 3, começando na coordenada superior e descendo.

As coordenadas y têm os mesmos numeradores, mas contam de 1 a 3 na direção oposta, de baixo para cima.



O quadrante 2 tem as mesmas coordenadas do quadrante 1, mas as coordenadas x são negativas.

O quadrante 3 alterna as coordenadas xey do quadrante 1. Todas as coordenadas xey também são negativas.

Assim como o quadrante 3, o quadrante 4 também troca as coordenadas x e y do quadrante 1. Mas apenas as coordenadas y são negativas.

Ângulos em Graus

Você pode querer referenciar ângulos em graus em vez de radianos. Para fazer isso, comece em 0 graus na coordenada (1,0). A partir daí, adicionaremos 30, 15, 15 e depois 30. No quadrante 1, adicionaremos 30 a 0 para obter 30, adicionaremos 15 a 30 para obter 45, adicionaremos 15 a 45 para obter 60 e adicionaremos 30 a 60 para obter 90.

Repetimos então o processo para os quadrantes restantes, somando 30, 15, 15 e 30 até chegar ao final do círculo. Portanto, o quadrante 4 terá ângulos que variam de 270 a 330 graus (ver figura 10).

Usando o Círculo Unitário na Prática

Lembre-se, o círculo unitário pode ser usado para encontrar dois lados desconhecidos de um triângulo retângulo com um ângulo de 30 graus e cujo lado mais longo, ou hipotenusa, tem comprimento de 7. Vamos tentar.

Observe onde 30° está no círculo unitário. Use essa linha e o eixo x para criar um triângulo como segue.

Em um círculo unitário, qualquer linha que comece no centro do círculo e termine em seu perímetro terá comprimento 1. Portanto, o lado mais longo deste triângulo terá comprimento 1. O lado mais longo de um triângulo retângulo é também conhecida como hipotenusa. O ponto onde a hipotenusa toca o perímetro do círculo está em √3/2, 1/2.

Portanto, sabemos que a base do triângulo (no eixo x) tem comprimento de √3/2 e a altura do triângulo é 1/2.

Outra maneira de pensar sobre isso é que a base é √3/2 vezes o comprimento da hipotenusa e a altura é 1/2 vezes o comprimento da hipotenusa.

Portanto, se, em vez disso, a hipotenusa tiver comprimento 7, a base do nosso triângulo será 7 x √3/2 =7√3/2.

O triângulo terá uma altura de 7 x 1/2 =7/2.

Este artigo foi atualizado em conjunto com a tecnologia de IA, depois verificado e editado por um editor do HowStuffWorks.
Agora isso é interessante
Acredita-se que a trigonometria tenha sido desenvolvida originalmente no século I a.C. para entender a astronomia, o estudo das estrelas e do sistema solar. Ainda é usado na exploração espacial por empresas como a NASA e empresas privadas de transporte espacial.

Perguntas Frequentes

Quanto é 2π no círculo unitário?

2π é igual a uma revolução completa em torno do círculo unitário, ou 360°.

Quais são as funções trigonométricas e como elas se relacionam com o círculo unitário?

As funções trigonométricas primárias são seno, cosseno e tangente. No círculo unitário, o seno corresponde ao valor y e o cosseno ao valor x dos pontos. O círculo unitário fornece uma representação geométrica dessas funções como proporções dos lados de triângulos retângulos.