A matemática de objetos aparentemente simples pode ser surpreendentemente desconcertante. Provavelmente não há maior exemplo disso do que a tira de Möbius.

É um objeto unilateral que pode ser feito simplesmente torcendo um pedaço de papel e conectando as pontas com fita adesiva. Se você seguisse o loop com o dedo, acabaria voltando para onde começou, tendo tocado toda a superfície do loop ao longo da jornada. Esta simples criação, a faixa de Möbius, é fundamental para todo o campo da topologia e serve como exemplo por excelência de vários princípios matemáticos.



Um desses princípios é a não orientabilidade , que é a incapacidade dos matemáticos de atribuir coordenadas a um objeto, digamos, para cima ou para baixo, ou lado a lado. Este princípio tem alguns resultados interessantes, pois os cientistas não têm certeza se o universo é orientável.

Isso representa um cenário desconcertante:se um foguete com astronautas voasse para o espaço por tempo suficiente e depois retornasse, assumindo que o universo não era orientável, é possível que todos os astronautas a bordo voltassem ao contrário.

Em outras palavras, os astronautas voltariam como imagens espelhadas de seus antigos eus, completamente invertidos. Seus corações estariam à direita e não à esquerda e podem ser canhotos em vez de destros. Se um dos astronautas tivesse perdido a perna direita antes do voo, ao retornar, o astronauta perderia a perna esquerda. Isso é o que acontece quando você atravessa uma superfície não orientável como uma faixa de Möbius.

Enquanto esperamos que sua mente esteja explodindo – pelo menos um pouco – precisamos dar um passo para trás. O que é uma tira de Möbius e como um objeto com matemática tão complexa pode ser feito simplesmente torcendo um pedaço de papel?


Conteúdo

1. A História da Faixa de Möbius
2. Usos práticos para o Mobius Strip
3. Como você cria uma faixa de Möbius?

A História da Faixa de Möbius

A tira de Möbius (às vezes escrita como "tira de Mobius") foi descoberta pela primeira vez em 1858 por um matemático alemão chamado August Möbius enquanto pesquisava teorias geométricas. Embora Möbius seja amplamente creditado com a descoberta (daí o nome da tira), ela foi descoberta quase simultaneamente por um matemático chamado Johann Listing. No entanto, ele adiou a publicação de seu trabalho e foi derrotado por August Möbius.

A faixa em si é definida simplesmente como uma superfície não orientável unilateral que é criada pela adição de uma meia torção a uma faixa. As tiras de Möbius podem ser qualquer banda que tenha um número ímpar de meias torções, o que acaba fazendo com que a tira tenha apenas um lado e, consequentemente, uma aresta.



Desde a sua descoberta, a tira unilateral tem fascinado artistas e matemáticos. A tira até seduziu M.C. Escher, levando a suas famosas obras, "Möbius Strip I&II".

A descoberta da faixa de Möbius também foi fundamental para a formação do campo da topologia matemática, o estudo das propriedades geométricas que permanecem inalteradas à medida que um objeto é deformado ou esticado. A topologia é vital para certas áreas da matemática e da física, como equações diferenciais e teoria das cordas.

Por exemplo, de acordo com os princípios topográficos, uma caneca é na verdade uma rosquinha. O matemático e artista Henry Segerman explica melhor em um vídeo do YouTube:"Se você pegar uma caneca de café, você pode desamarrar o local onde o café vai e pode espremer um pouco a alça e, eventualmente, pode deformá-la em [uma] forma de rosquinha redonda simétrica." (Isso explica a piada de que um topologista é alguém que não consegue ver a diferença entre um donut e uma caneca de café.)

Usos práticos para o Mobius Strip

A tira de Möbius é mais do que apenas uma grande teoria matemática:tem algumas aplicações práticas interessantes, seja como auxílio de ensino para objetos mais complexos ou em máquinas.

Por exemplo, como a fita Möbius é fisicamente unilateral, o uso de fitas Möbius em esteiras transportadoras e outras aplicações garante que a própria esteira não sofra desgaste irregular ao longo de sua vida útil. O professor associado NJ Wildberger, da Escola de Matemática da Universidade de Nova Gales do Sul, Austrália, explicou durante uma série de palestras que uma torção é frequentemente adicionada aos cintos de acionamento em máquinas, "propositalmente para desgastar o cinto uniformemente em ambos os lados". A faixa de Möbius também pode ser vista na arquitetura, por exemplo, a Ponte Wuchazi na China.



Dr. Edward English Jr., professor de matemática do ensino médio e ex-engenheiro óptico, diz que quando ele aprendeu sobre a tira de Möbius na escola primária, seu professor o fez criar uma com papel, cortando a tira de Möbius ao longo de seu comprimento, o que criou uma tira mais longa com duas torções completas.

"Estar intrigado e exposto a esse conceito de dois 'estados' me ajudou, eu acho, quando encontrei o spin dos elétrons para cima/para baixo", diz ele, referindo-se ao seu doutorado. estudos. "Várias ideias da mecânica quântica não eram conceitos tão estranhos para eu aceitar e entender porque a tira de Möbius me apresentou a tais possibilidades." Para muitos, a faixa de Möbius serve como a primeira introdução à geometria e matemática complexas.

Como você cria uma tira de Möbius?

Criar uma faixa de Möbius é incrivelmente fácil. Basta pegar um pedaço de papel e cortá-lo em uma tira fina, digamos, uma polegada ou 2 de largura (2,5 a 5 centímetros). Depois de cortar a tira, basta torcer uma das pontas em 180 graus, ou meia torção. Em seguida, pegue um pouco de fita e conecte essa extremidade à outra extremidade, criando um anel com meia torção dentro. Agora você fica com uma tira de Möbius!

Você pode observar melhor os princípios dessa forma pegando o dedo e seguindo as laterais da tira. Você acabará por dar toda a volta na forma e encontrar o dedo de volta onde começou.



Se você cortar uma tira de Möbius no centro, ao longo de todo o seu comprimento, você ficará com um laço maior com quatro meias voltas. Isso deixa você com uma forma circular torcida, mas que ainda tem dois lados. É essa dualidade que o Dr. English mencionou o ajudou a entender princípios mais complexos.
Agora que legal
Se você cortar um bagel ao longo do caminho de uma tira de Möbius, ficará com dois anéis de bagel conectados. Não só isso, mas a superfície do corte será maior do que apenas cortar o bagel ao meio, permitindo que você espalhe mais cream cheese no bagel para comer.